Suponha que a matriz A tem forma escalonada R, sendo A=(cccc1 & 2 & 1 & b 2 & a & 1 & 8 & linha & 3 & ) e R=(llll1 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0). Determine a e b

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz com algumas incógnitas e , e sabemos que a forma escalonada dessa matriz é . Nosso objetivo aqui é descobrir os valores de e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operações de linhas e formas escalonadas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes que a gente tem:
A = 1 & 2 & 1 & b 2 & a & 1 & 8 0 & ? & 3 & ? , R = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Notamos que tem duas incógnitas: e .

Passo 3

Vamos aplicar operações de linha na matriz para transformá-la na forma escalonada . Lembrando que operações de linha podem incluir:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 4

Começamos pela primeira linha de Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 . Como o primeiro elemento já é 1, não precisamos trocar linhas. Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na segunda linha.
Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
2 - 2 times 1 = 0, a - 2 times 2 = a - 4, 1 - 2 times 1 = -1, 8 - 2 times b = 8 - 2b
Calculando:
(0, a - 4, -1, 8 - 2b)
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, vamos ajustar a terceira linha. No enunciado, não nos foi dado completamente, mas observando a forma escalonada , sabemos que o terceiro elemento da terceira linha de é 3 e que, na forma escalonada , ele corresponde ao zero.
Para simplificar, vamos focar nas duas primeiras linhas já transformadas.

Passo 6

Agora, vamos olhar para a forma escalonada (0, a - 4, -1, 8 - 2b) . A segunda linha de Linha 2 = -1 times Linha 2 tem um 1 na terceira posição. Precisamos que, após as operações, a segunda linha de (0, 4 - a, 1, 2b - 8) transformada também tenha 1 nessa posição.
Atualmente, a segunda linha transformada de é:
Queremos que o elemento da terceira coluna seja 1. Para isso, multiplicamos toda a segunda linha por -1:
Ficando:

Passo 7

Comparando com a forma escalonada (0, 0, 1, 2) , vemos que o segundo elemento da segunda linha transformada de 4 - a = 0 Rightarrow a = 4 deve ser 0, porque na segunda linha de temos:
Então, igualamos:

Passo 8

Com (0, 0, 1, 2b - 8) , vamos substituir de volta na segunda linha transformada:
2b - 8 = 2 Rightarrow 2b = 10 Rightarrow b = 5
Comparando com , sabemos que o último elemento dessa linha deve ser 2:

Resposta

Os valores são e .

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