Suponha que a matriz tem forma escalonada , sendo e . Determine e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz com algumas incógnitas e , e sabemos que a forma escalonada dessa matriz é . Nosso objetivo aqui é descobrir os valores de e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operações de linhas e formas escalonadas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes que a gente tem:
Notamos que tem duas incógnitas: e .

Passo 3

Vamos aplicar operações de linha na matriz para transformá-la na forma escalonada . Lembrando que operações de linha podem incluir:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 4

Começamos pela primeira linha de . Como o primeiro elemento já é 1, não precisamos trocar linhas. Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na segunda linha.
Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, vamos ajustar a terceira linha. No enunciado, não nos foi dado completamente, mas observando a forma escalonada , sabemos que o terceiro elemento da terceira linha de é 3 e que, na forma escalonada , ele corresponde ao zero.
Para simplificar, vamos focar nas duas primeiras linhas já transformadas.

Passo 6

Agora, vamos olhar para a forma escalonada . A segunda linha de tem um 1 na terceira posição. Precisamos que, após as operações, a segunda linha de transformada também tenha 1 nessa posição.
Atualmente, a segunda linha transformada de é:
Queremos que o elemento da terceira coluna seja 1. Para isso, multiplicamos toda a segunda linha por -1:
Ficando:

Passo 7

Comparando com a forma escalonada , vemos que o segundo elemento da segunda linha transformada de deve ser 0, porque na segunda linha de temos:
Então, igualamos:

Passo 8

Com , vamos substituir de volta na segunda linha transformada:
Comparando com , sabemos que o último elemento dessa linha deve ser 2:

Resposta

Os valores são e .

Exercícios relacionados

Dados os espaços vetoriais reais a seguir, diga em cada caso, se é subespaço de
(b) e .
Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
g.
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
b.
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
c.