Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
g.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para transformar a matriz que você enviou em uma forma chamada forma escada reduzida por linhas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente das operações elementares de linha e redução de matrizes. Para isso, vamos precisar usar operações como trocar linhas, multiplicar linhas por números diferentes de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz para termos certeza de como ela está:
Passo 3
Vamos começar identificando o primeiro “pivô”, que é o primeiro número diferente de zero em uma linha, movendo da esquerda para a direita. Olhando a primeira coluna, todas as entradas são zero, então passamos para a próxima coluna. Na segunda coluna, também todas são zero. Na terceira coluna, temos um 2 na quarta linha. Vamos trocar a terceira linha com a quarta para trazer esse número para cima e facilitar.
Operação: Trocar a terceira linha com a quarta.
Passo 4
Agora, queremos que o pivô (2) seja 1. Para isso, vamos dividir a terceira linha por 2.
Operação:
Passo 5
Vamos usar esse pivô (1 na posição ) para zerar os elementos abaixo e acima dele na coluna 3. Olhando a coluna 3, só temos zeros acima, então precisamos apenas zerar o 2 que estava originalmente.
Como já transformamos o 2 em 1 na linha 3, e as outras entradas na coluna 3 são zero, não precisamos fazer mais nada nesse passo.
Passo 6
Agora, vamos para a quarta coluna e encontrar o próximo pivô. Na quarta coluna, a quarta linha tem 1, que já é um pivô bom. Vamos usá-lo para zerar os elementos acima.
Operação: Nenhuma necessária, pois não há outros elementos na quarta coluna que precisem ser zerados.
Passo 7
Seguimos para a quinta coluna. Na quinta coluna, temos um -1 na segunda linha e 4 na quinta linha. Vamos escolher o -1 como pivô e transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por -1.
Operação:
Passo 8
Agora, vamos usar esse pivô (1 na posição ) para zerar os elementos acima e abaixo dele na quinta coluna. Na quinta coluna, temos 0 na primeira, terceira e quarta linhas, e 4 na quinta linha.
Operação:
Passo 9
Vamos agora para a sexta coluna. Observamos que na quinta linha temos um 8. Vamos transformar esse 8 em 1 dividindo a quinta linha por 8.
Operação:
Passo 10
Agora, usamos o pivô 1 na sexta coluna para zerar os elementos acima dele na mesma coluna. Observamos que na segunda e quarta linhas temos -1 e -4, respectivamente.
Operações:
Passo 11
Agora, vamos para a sétima coluna. Na quarta linha, temos um 8. Vamos transformar esse 8 em 1 dividindo a quarta linha por 8.
Operação:
Passo 12
Usamos o pivô 1 na sétima coluna para zerar os elementos acima dele. Observamos que na terceira linha temos 0 e na quarta linha já está 1. Não há outros elementos a zerar nessa coluna.
Passo 13
Por último, vamos para a oitava coluna. Na quinta linha, temos um 1. Vamos usar esse pivô para zerar os elementos acima dele.
Operação:
Passo 14
Agora, nossa matriz está em forma escada reduzida por linhas. Cada pivô é 1, e acima e abaixo de cada pivô não há outros números além de zero.
Resposta
A matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas é: