Dados os espaços vetoriais reais a seguir, diga em cada caso, se S é subespaço de V
(b) V=P2=a+b t+c t^2 ; a, b, c in R e S=a+b t+c t^2, a-2 b+c=0.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que envolve espaços vetoriais. Temos o espaço vetorial e o subconjunto . Nosso objetivo é determinar se é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se a - 2b + c = 0 implies 0 - 2(0) + 0 = 0 contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio . Vamos ver se ele pertence a :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se p1(t) = a1 + b1t + c1t^2 com a1 - 2b1 + c1 = 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de p2(t) = a2 + b2t + c2t^2 com a2 - 2b2 + c2 = 0 :
p1(t) + p2(t) = (a1 + a2) + (b1 + b2)t + (c1 + c2)t^2
(a1 + a2) - 2(b1 + b2) + (c1 + c2) = (a1 - 2b1 + c1) + (a2 - 2b2 + c2) = 0 + 0 = 0
Somando esses dois polinômios:
Vamos verificar se a condição é satisfeita para o polinômio somado:
Portanto, a soma de dois elementos de também pertence a .

Passo 5

3. Verificar se p(t) = a + bt + ct^2 com a - 2b + c = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um elemento qualquer de k cdot p(t) = ka + kbt + kct^2 :
ka - 2(kb) + kc = k(a - 2b + c) = k cdot 0 = 0
E um escalar . Multiplicando o polinômio por :
Verificamos a condição para o polinômio multiplicado:
Assim, o polinômio multiplicado por também satisfaz a condição e pertence a .

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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