Dados os espaços vetoriais reais a seguir, diga em cada caso, se
é subespaço de
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve espaços vetoriais. Temos o espaço vetorial
e o subconjunto
. Nosso objetivo é determinar se
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é o polinômio
. Vamos ver se ele pertence a
:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
Somando esses dois polinômios:
Vamos verificar se a condição
é satisfeita para o polinômio somado:
Portanto, a soma de dois elementos de
também pertence a
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um elemento qualquer de
:
E um escalar
. Multiplicando o polinômio por
:
Verificamos a condição para o polinômio multiplicado:
Assim, o polinômio multiplicado por
também satisfaz a condição
e pertence a
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.