Dados os espaços vetoriais reais a seguir, diga em cada caso, se é subespaço de
(b) e .
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve espaços vetoriais. Temos o espaço vetorial e o subconjunto . Nosso objetivo é determinar se é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições básicas:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio . Vamos ver se ele pertence a :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Verificar se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de :
Somando esses dois polinômios:
Vamos verificar se a condição é satisfeita para o polinômio somado:
Portanto, a soma de dois elementos de também pertence a .
Passo 5
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um elemento qualquer de :
E um escalar . Multiplicando o polinômio por :
Verificamos a condição para o polinômio multiplicado:
Assim, o polinômio multiplicado por também satisfaz a condição e pertence a .