Suponha que o momento angular da Terra (de massa 6,0 times 10^24 kg ) devido a seu movimento em torno do Sol (órbita de raio =1,5 times 10^11 m ) seja quantizado segundo a relação de Bohr L=n h / 2 pi. Qual é o valor do número quântico n ? Poderíamos detectar tal quantização?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre o momento angular da Terra enquanto ela orbita o Sol. Queremos descobrir o número quântico usando a relação de Bohr para quantização do momento angular, que é . Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas do momento angular clássico e da relação de Bohr, além dos valores fornecidos na questão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular clássico da Terra. O momento angular L = m cdot v cdot r é dado por:
v = 2 pi rT
Onde:
  • é a massa da Terra ( ),
  • é a velocidade orbital,
  • é o raio da órbita ( ).
Para encontrar , usamos a relação da velocidade orbital:
Onde é o período orbital da Terra (um ano, que é aproximadamente ).

Passo 3

Vamos calcular v = 2 pi times 1,5 times 10^11 , m3,15 times 10^7 , s approx 2,99 times 10^4 , m/s :

Passo 4

Agora, calculamos o momento angular L = 6,0 times 10^24 , kg times 2,99 times 10^4 , m/s times 1,5 times 10^11 , m = 2,69 times 10^40 , kg cdot m^2/s :

Passo 5

Segundo a relação de Bohr, o momento angular é quantizado:
L = n h2 pi
Onde n = 2 pi Lh é a constante de Planck ( ).
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 6

Substituindo os valores:
n = 2 pi times 2,69 times 10^406,626 times 10^-34 approx 2,56 times 10^74

Passo 7

Esse número quântico é extremamente grande ( ). Isso indica que, mesmo que o momento angular fosse quantizado da maneira proposta, os níveis de energia seriam tão próximos que não conseguiríamos detectar essa quantização na prática.

Resposta

O número quântico é aproximadamente . Dessa forma, não poderíamos detectar tal quantização na realidade.

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