Um capacitor é formado por duas esferas concêntricas de raios (interno) e (externo). A permissividade elétrica do meio é dada por , com . Calcule a capacitância do capacitor.
Resposta:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um capacitor formado por duas esferas concêntricas: uma interna com raio e uma externa com raio . A permissividade elétrica do material entre as esferas não é constante; ela varia com a distância e é dada por:
Nosso objetivo é calcular a capacitância desse capacitor. Para isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância para configurações esféricas e integrar a relação que envolve a permissividade elétrica que depende de .

Passo 2

A capacitância de um capacitor é definida como a quantidade de carga armazenada dividida pela diferença de potencial entre as duas esferas:
Então, para encontrar a capacitância, precisamos determinar a diferença de potencial causada pela carga na esfera interna.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico gerado por uma carga na esfera interna. Para uma distribuição esférica, usamos a Lei de Gauss:
Como a permissividade elétrica depende de , a equação fica:

Passo 4

Vamos isolar na equação:

Passo 5

A diferença de potencial entre as duas esferas é dada pela integração do campo elétrico de até :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Agora, usamos a definição da capacitância:

Resposta

A capacitância do capacitor é:

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Resposta: (a) (b) e ©