Um capacitor é formado por duas esferas concêntricas de raios
(interno) e
(externo). A permissividade elétrica do meio é dada por
, com
. Calcule a capacitância do capacitor.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um capacitor formado por duas esferas concêntricas: uma interna com raio
e uma externa com raio
. A permissividade elétrica do material entre as esferas não é constante; ela varia com a distância
e é dada por:
Nosso objetivo é calcular a capacitância desse capacitor. Para isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância para configurações esféricas e integrar a relação que envolve a permissividade elétrica que depende de
.
Passo 2
A capacitância
de um capacitor é definida como a quantidade de carga
armazenada dividida pela diferença de potencial
entre as duas esferas:
Então, para encontrar a capacitância, precisamos determinar a diferença de potencial
causada pela carga
na esfera interna.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
gerado por uma carga
na esfera interna. Para uma distribuição esférica, usamos a Lei de Gauss:
Como a permissividade elétrica
depende de
, a equação fica:
Passo 4
Vamos isolar
na equação:
Passo 5
A diferença de potencial
entre as duas esferas é dada pela integração do campo elétrico de
até
:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Agora, usamos a definição da capacitância:
Resposta
A capacitância do capacitor é: