Um capacitor é formado por duas esferas concêntricas de raios a (interno) e b (externo). A permissividade elétrica do meio é dada por epsilon=epsilon0(ar)^3 e^-r^2 / a^2, com a. Calcule a capacitância do capacitor.
Resposta: C=8 pi epsilon0 ae^b^2 / a^2-e

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um capacitor formado por duas esferas concêntricas: uma interna com raio a e uma externa com raio b. A permissividade elétrica do material entre as esferas não é constante; ela varia com a distância r e é dada por:
epsilon = epsilon0(ar)^3 e^-r^2 / a^2, onde a < r < b
Nosso objetivo é calcular a capacitância desse capacitor. Para isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância para configurações esféricas e integrar a relação que envolve a permissividade elétrica que depende de r.

Passo 2

A capacitância C de um capacitor é definida como a quantidade de carga Q armazenada dividida pela diferença de potencial V entre as duas esferas:
C = QV
Então, para encontrar a capacitância, precisamos determinar a diferença de potencial V causada pela carga Q na esfera interna.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico E gerado por uma carga Q na esfera interna. Para uma distribuição esférica, usamos a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qepsilon
Como a permissividade elétrica epsilon depende de r, a equação fica:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qepsilon0(ar)^3 e^-r^2 / a^2

Passo 4

Vamos isolar E(r) na equação:
E(r) = Q4 pi epsilon0 a^3 cdot r cdot e^r^2a^2

Passo 5

A diferença de potencial V entre as duas esferas é dada pela integração do campo elétrico de r = a até r = b:
V = integrala^b E(r) , dr = integrala^b Q4 pi epsilon0 a^3 cdot r cdot e^r^2a^2 , dr

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral r cdot e^r^2a^2 , dr
Fazendo a substituição u = r^2a^2, temos du = 2ra^2 dr, ou seja, r , dr = a^22 du. Assim:
integral r cdot e^r^2a^2 , dr = a^22 integral e^u , du = a^22 e^u + C = a^22 e^r^2a^2 + C
Aplicando os limites de integração:
V = Q4 pi epsilon0 a^3 cdot a^22 ( e^b^2a^2 - e ) = Q8 pi epsilon0 a ( e^b^2a^2 - e )

Passo 7

Agora, usamos a definição da capacitância:
C = QV = QQ8 pi epsilon0 a ( e^b^2a^2 - e ) = 8 pi epsilon0 ae^b^2a^2 - e

Resposta

A capacitância do capacitor é:
C = 8 pi epsilon0 ae^b^2 / a^2 - e

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