A separação das placas de um capacitor plano paralelo é d. Mostre que, ao introduzir uma amostra metálica de espessura l entre as placas e paralela às placas, a capacitância aumenta epsilon0 l / d(d-l) por unidade de área.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com uma separação entre as placas de d. O problema quer que a gente mostre que, ao inserir uma folha metálica de espessura l entre as placas, mantendo-a paralela, a capacitância do capacitor aumenta em epsilon0 ld(d - l) por unidade de área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitância de capacitores em série e propriedades dos capacitores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a capacitância ( C) de um capacitor de placas paralelas é dada por:
C = epsilon0 Ad
onde:
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.

Passo 3

Agora, ao inserir uma folha metálica de espessura l entre as placas, estamos efetivamente dividindo o capacitor original em dois capacitores menores em série. A primeira parte tem uma separação de l (do primeiro platô até a folha metálica) e a segunda parte tem uma separação de d - l (da folha metálica até o segundo platô).

Passo 4

Como os dois novos capacitores estão em série, a capacitância total ( Ctotal) é dada por:
1Ctotal = 1C1 + 1C2
onde:
  • C1 = epsilon0 Al
  • C2 = epsilon0 Ad - l
Substituindo na fórmula:
1Ctotal = lepsilon0 A + d - lepsilon0 A = depsilon0 A
Portanto,
Ctotal = epsilon0 Ad

Passo 5

No entanto, a questão pede para considerar o aumento da capacitância por unidade de área, então vamos dividir toda a expressão por A. A capacitância por unidade de área sem a folha é CA = epsilon0d.
Com a folha, a nova capacitância por unidade de área é:
CtotalA = epsilon0 1d (1 + ld - l) = epsilon0 dd(d - l) = epsilon0 ld(d - l)

Resposta

A capacitância aumenta em epsilon0 ld(d - l) por unidade de área ao introduzir a amostra metálica de espessura l entre as placas do capacitor paralelo.

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