A separação das placas de um capacitor plano paralelo é
. Mostre que, ao introduzir uma amostra metálica de espessura
entre as placas e paralela às placas, a capacitância aumenta
por unidade de área.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com uma separação entre as placas de
. O problema quer que a gente mostre que, ao inserir uma folha metálica de espessura
entre as placas, mantendo-a paralela, a capacitância do capacitor aumenta em
por unidade de área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitância de capacitores em série e propriedades dos capacitores paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a capacitância (
) de um capacitor de placas paralelas é dada por:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Passo 3
Agora, ao inserir uma folha metálica de espessura
entre as placas, estamos efetivamente dividindo o capacitor original em dois capacitores menores em série. A primeira parte tem uma separação de
(do primeiro platô até a folha metálica) e a segunda parte tem uma separação de
(da folha metálica até o segundo platô).
Passo 4
Como os dois novos capacitores estão em série, a capacitância total (
) é dada por:
onde:
Substituindo na fórmula:
Portanto,
Passo 5
No entanto, a questão pede para considerar o aumento da capacitância por unidade de área, então vamos dividir toda a expressão por
. A capacitância por unidade de área sem a folha é
.
Com a folha, a nova capacitância por unidade de área é:
Resposta
A capacitância aumenta em
por unidade de área ao introduzir a amostra metálica de espessura
entre as placas do capacitor paralelo.