A separação das placas de um capacitor plano paralelo é . Mostre que, ao introduzir uma amostra metálica de espessura entre as placas e paralela às placas, a capacitância aumenta por unidade de área.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor de placas paralelas com uma separação entre as placas de . O problema quer que a gente mostre que, ao inserir uma folha metálica de espessura entre as placas, mantendo-a paralela, a capacitância do capacitor aumenta em por unidade de área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitância de capacitores em série e propriedades dos capacitores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a capacitância ( ) de um capacitor de placas paralelas é dada por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.

Passo 3

Agora, ao inserir uma folha metálica de espessura entre as placas, estamos efetivamente dividindo o capacitor original em dois capacitores menores em série. A primeira parte tem uma separação de (do primeiro platô até a folha metálica) e a segunda parte tem uma separação de (da folha metálica até o segundo platô).

Passo 4

Como os dois novos capacitores estão em série, a capacitância total ( ) é dada por:
onde:
Substituindo na fórmula:
Portanto,

Passo 5

No entanto, a questão pede para considerar o aumento da capacitância por unidade de área, então vamos dividir toda a expressão por . A capacitância por unidade de área sem a folha é .
Com a folha, a nova capacitância por unidade de área é:

Resposta

A capacitância aumenta em por unidade de área ao introduzir a amostra metálica de espessura entre as placas do capacitor paralelo.

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