Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas. (1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e
é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de
.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade! Temos uma urna com 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. Queremos saber a função de probabilidade
, que representa o número de bolas brancas quando extraímos 2 bolas ao acaso. Vamos analisar duas situações: (a) com reposição e (b) sem reposição. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição binomial.
Passo 2
Parte (a) com reposição:
Quando extraímos com reposição, depois de tirar uma bola, ela é colocada de volta na urna antes da próxima extração. Isso significa que as probabilidades permanecem as mesmas em cada extração.
Vamos calcular as probabilidades para cada possível valor de
(0, 1 ou 2 bolas brancas).
-
: Nenhuma bola branca é tirada, ou seja, as duas bolas são pretas. - Probabilidade de tirar uma preta na primeira extração:
- Como com reposição, a probabilidade de tirar uma preta na segunda extração também é
- Então,
- Probabilidade de tirar uma preta na primeira extração:
-
: Uma bola branca e uma preta são tiradas, em qualquer ordem. - Probabilidade de branco na primeira e preto na segunda:
- Probabilidade de preto na primeira e branco na segunda:
- Então,
- Probabilidade de branco na primeira e preto na segunda:
-
: Duas bolas brancas são tiradas. - Probabilidade de tirar uma branca na primeira extração:
- Com reposição, a probabilidade de tirar uma branca na segunda extração também é
- Então,
- Probabilidade de tirar uma branca na primeira extração:
Passo 3
Parte (b) sem reposição:
Sem reposição, depois de tirar uma bola, ela não é colocada de volta na urna. Isso altera as probabilidades na segunda extração.
Vamos calcular as probabilidades para cada valor de
:
-
: Nenhuma bola branca é tirada. - Probabilidade de tirar uma preta na primeira extração:
- Depois, há 7 bolas na urna, das quais 2 são pretas.
- Probabilidade de tirar outra preta:
- Então,
- Probabilidade de tirar uma preta na primeira extração:
-
: Uma bola branca e uma preta são tiradas, em qualquer ordem. - Probabilidade de branco na primeira e preta na segunda:
-
- Probabilidade de preto na primeira e branca na segunda:
-
- Então,
- Probabilidade de branco na primeira e preta na segunda:
-
: Duas bolas brancas são tiradas. - Probabilidade de tirar uma branca na primeira extração:
- Depois, há 7 bolas na urna, das quais 4 são brancas.
- Probabilidade de tirar outra branca:
- Então,
- Probabilidade de tirar uma branca na primeira extração:
Resposta
A função de probabilidade
é:
a) Com reposição:
b) Sem reposição:
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Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas. (2) Se
bolas de gude são extraídas ao acaso, e
é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de
.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
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é a variável aleatória número de caras, construa uma tabela mostrando a função de probabilidade de
.
Considere
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.
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