Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas. (1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e X é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de X.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade! Temos uma urna com 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. Queremos saber a função de probabilidade , que representa o número de bolas brancas quando extraímos 2 bolas ao acaso. Vamos analisar duas situações: (a) com reposição e (b) sem reposição. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição binomial.

Passo 2

Parte (a) com reposição:
Quando extraímos com reposição, depois de tirar uma bola, ela é colocada de volta na urna antes da próxima extração. Isso significa que as probabilidades permanecem as mesmas em cada extração.
Vamos calcular as probabilidades para cada possível valor de (0, 1 ou 2 bolas brancas).
  1. : Nenhuma bola branca é tirada, ou seja, as duas bolas são pretas.
    • Probabilidade de tirar uma preta na primeira extração:
    • Como com reposição, a probabilidade de tirar uma preta na segunda extração também é
    • Então,
  2. : Uma bola branca e uma preta são tiradas, em qualquer ordem.
    • Probabilidade de branco na primeira e preto na segunda:
    • Probabilidade de preto na primeira e branco na segunda:
    • Então,
  3. : Duas bolas brancas são tiradas.
    • Probabilidade de tirar uma branca na primeira extração:
    • Com reposição, a probabilidade de tirar uma branca na segunda extração também é
    • Então,

Passo 3

Parte (b) sem reposição:
Sem reposição, depois de tirar uma bola, ela não é colocada de volta na urna. Isso altera as probabilidades na segunda extração.
Vamos calcular as probabilidades para cada valor de :
  1. : Nenhuma bola branca é tirada.
    • Probabilidade de tirar uma preta na primeira extração:
    • Depois, há 7 bolas na urna, das quais 2 são pretas.
    • Probabilidade de tirar outra preta:
    • Então,
  2. : Uma bola branca e uma preta são tiradas, em qualquer ordem.
    • Probabilidade de branco na primeira e preta na segunda:
    • Probabilidade de preto na primeira e branca na segunda:
    • Então,
  3. : Duas bolas brancas são tiradas.
    • Probabilidade de tirar uma branca na primeira extração:
    • Depois, há 7 bolas na urna, das quais 4 são brancas.
    • Probabilidade de tirar outra branca:
    • Então,

Resposta

A função de probabilidade P(X=0) = 964, P(X=1) = 1532, P(X=2) = 2564 é:
a) Com reposição:
P(X=0) = 328, P(X=1) = 1528, P(X=2) = 514
b) Sem reposição:

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