Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(h) lim x infty(xx^2+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve cálculo de limites e vai utilizar a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar entender como aplicar essa regra quando temos expressões indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Temos (xx^2+1)^x = e^x cdot ln(xx^2+1) . Para facilitar, podemos reescrever essa expressão usando exponenciais:
limx to infty e^x cdot ln(xx^2+1) = e^limx to infty x cdot ln(xx^2+1)
Agora, nosso limite fica:
L = limx to infty x cdot ln(xx^2+1)
Então, precisamos calcular o limite dentro do expoente:

Passo 3

Vamos simplificar o logaritmo:
ln(xx^2+1) = ln(x) - ln(x^2+1)
Então, nosso limite L = limx to infty x cdot (ln(x) - ln(x^2+1)) fica:

Passo 4

Podemos reescrever isso como:
L = limx to infty x cdot ln(xx^2+1) = limx to infty ln(xx^2+1)1x
Agora, vemos que quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx ln(xx^2+1) = (x^2+1)(1) - x(2x)(x^2+1)x = x^2+1 - 2x^2x(x^2+1) = 1 - x^2x(x^2+1)
Derivada do denominador:
ddx (1x) = -1x^2

Passo 6

Agora, o limite L = limx to infty 1 - x^2x(x^2+1)-1x^2 = limx to infty (1 - x^2)x^2-x(x^2+1) = limx to infty (1 - x^2)x^2-x^3 - x se torna:
L = limx to infty -x^4 + x^2-x^3 - x = limx to infty x^4 - x^2x^3 + x
Simplificando:

Passo 7

Dividindo numerador e denominador por L = limx to infty x^4x^3 - x^2x^3x^3x^3 + xx^3 = limx to infty x - 1x1 + 1x^2 :
L = limx to infty x1 = infty
Quando , e tendem a zero. Então:

Passo 8

Voltando ao nosso limite original:
lim x infty(xx^2+1)^x = e^L = e^-infty = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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