Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p(lambda)=(lambda-1)(lambda-3)^2(lambda-4)^3. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.
(a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de A ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o polinômio característico de uma matriz A, que é p(lambda)=(lambda-1)(lambda-3)^2(lambda-4)^3. O conteúdo relacionado aqui envolve autovalores, multiplicidade algébrica e dimensões dos autoespaços. Precisamos determinar o que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de A com base nesse polinômulo característico.

Passo 2

Vamos identificar os autovalores e suas multiplicidades algébricas a partir do polinômio característico. Temos:
  • lambda = 1 com multiplicidade algébrica 1
  • lambda = 3 com multiplicidade algébrica 2
  • lambda = 4 com multiplicidade algébrica 3
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.

Passo 3

Sabemos que para cada autovalor, a dimensão do autoespaço associado, que chamamos de multiplicidade geométrica, é sempre menor ou igual à sua multiplicidade algébrica. Isso é uma propriedade fundamental em álgebra linear que relaciona a multiplicidade algébrica e a dimensão do autoespaço.
Matematicamente,
Dimensão do autoespaço de lambda <= Muãçé

Passo 4

Aplicando essa propriedade aos nossos autovalores:
  • Para lambda = 1, a multiplicidade algébrica é 1, então a dimensão do autoespaço é no máximo 1.
  • Para lambda = 3, a multiplicidade algébrica é 2, então a dimensão do autoespaço é no máximo 2.
  • Para lambda = 4, a multiplicidade algébrica é 3, então a dimensão do autoespaço é no máximo 3.
Isso significa que cada autoespaço pode ter uma dimensão igual ou menor que sua multiplicidade algébrica.

Resposta

As dimensões dos autoespaços de A são, respectivamente, no máximo 1 para o autovalor 1, no máximo 2 para o autovalor 3 e no máximo 3 para o autovalor 4.

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