Suponha que o polinômio característico de alguma matriz
seja
. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.
(a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de
?
(a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o polinômio característico de uma matriz
, que é
. O conteúdo relacionado aqui envolve autovalores, multiplicidade algébrica e dimensões dos autoespaços. Precisamos determinar o que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de
com base nesse polinômulo característico.
Passo 2
Vamos identificar os autovalores e suas multiplicidades algébricas a partir do polinômio característico. Temos:
-
com multiplicidade algébrica 1 -
com multiplicidade algébrica 2 -
com multiplicidade algébrica 3
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.
Passo 3
Sabemos que para cada autovalor, a dimensão do autoespaço associado, que chamamos de multiplicidade geométrica, é sempre menor ou igual à sua multiplicidade algébrica. Isso é uma propriedade fundamental em álgebra linear que relaciona a multiplicidade algébrica e a dimensão do autoespaço.
Matematicamente,
Passo 4
Aplicando essa propriedade aos nossos autovalores:
- Para
, a multiplicidade algébrica é 1, então a dimensão do autoespaço é no máximo 1. - Para
, a multiplicidade algébrica é 2, então a dimensão do autoespaço é no máximo 2. - Para
, a multiplicidade algébrica é 3, então a dimensão do autoespaço é no máximo 3.
Isso significa que cada autoespaço pode ter uma dimensão igual ou menor que sua multiplicidade algébrica.
Resposta
As dimensões dos autoespaços de
são, respectivamente, no máximo 1 para o autovalor 1, no máximo 2 para o autovalor 3 e no máximo 3 para o autovalor 4.