Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p(lambda)=(lambda-1)(lambda-3)^2(lambda-4)^3. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.
© Sev1, v2, v3 for um conjunto linearmente independente de vetores de A, cada um dos quais está associado ao mesmo autovalor de A, o que pode ser dito sobre esse autovalor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz cujo polinômio característico é . A questão nos pede para descobrir o que podemos dizer sobre um autovalor específico de se tivermos três vetores que são linearmente independentes e todos associados a esse mesmo autovalor.
Aqui, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como polinômio característico, autovalores, autovetores e multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. É um polinômio cuja raiz são os autovalores da matriz . No nosso caso, , então os autovalores são , e .
Cada fator do polinômio nos dá a multiplicidade algébrica do autovalor, ou seja, quantas vezes cada autovalor aparece como raiz do polinômio. Aqui:
  • tem multiplicidade algébrica 1,
  • tem multiplicidade algébrica 2,
  • tem multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovetores e multiplicidade geométrica. Para cada autovalor, a quantidade de autovetores linearmente independentes associados a ele é chamada de multiplicidade geométrica. Importante: a multiplicidade geométrica nunca pode ser maior que a multiplicidade algébrica.
A questão nos diz que temos três vetores que são linearmente independentes e todos estão associados ao mesmo autovalor. Isso significa que a multiplicidade geométrica desse autovalor é pelo menos 3.

Passo 4

Vamos analisar os autovalores possíveis:
  • Para , a multiplicidade algébrica é 1. Logo, a multiplicidade geométrica também é no máximo 1. Não pode ter 3 autovetores aqui.
  • Para , a multiplicidade algébrica é 2. A multiplicidade geométrica pode ser 1 ou 2. Ainda assim, não chega a 3.
  • Para , a multiplicidade algébrica é 3. A multiplicidade geométrica pode ser 1, 2 ou 3. Aqui, é possível ter 3 autovetores linearmente independentes.

Passo 5

Como precisamos de um autovalor que suporte três autovetores linearmente independentes, o único que se encaixa é , já que é o único com multiplicidade algébrica de pelo menos 3.

Resposta

O autovalor em questão deve ser , pois é o único com multiplicidade suficiente para ter três vetores linearmente independentes associados a ele.

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