Suponha que o polinômio característico de alguma matriz
seja
. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.
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for um conjunto linearmente independente de vetores de
, cada um dos quais está associado ao mesmo autovalor de
, o que pode ser dito sobre esse autovalor?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz
cujo polinômio característico é
. A questão nos pede para descobrir o que podemos dizer sobre um autovalor específico de
se tivermos três vetores
que são linearmente independentes e todos associados a esse mesmo autovalor.
Aqui, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como polinômio característico, autovalores, autovetores e multiplicidade algébrica e geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. É um polinômio cuja raiz são os autovalores da matriz
. No nosso caso,
, então os autovalores são
,
e
.
Cada fator do polinômio nos dá a multiplicidade algébrica do autovalor, ou seja, quantas vezes cada autovalor aparece como raiz do polinômio. Aqui:
-
tem multiplicidade algébrica 1, -
tem multiplicidade algébrica 2, -
tem multiplicidade algébrica 3.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovetores e multiplicidade geométrica. Para cada autovalor, a quantidade de autovetores linearmente independentes associados a ele é chamada de multiplicidade geométrica. Importante: a multiplicidade geométrica nunca pode ser maior que a multiplicidade algébrica.
A questão nos diz que temos três vetores
que são linearmente independentes e todos estão associados ao mesmo autovalor. Isso significa que a multiplicidade geométrica desse autovalor é pelo menos 3.
Passo 4
Vamos analisar os autovalores possíveis:
- Para
, a multiplicidade algébrica é 1. Logo, a multiplicidade geométrica também é no máximo 1. Não pode ter 3 autovetores aqui. - Para
, a multiplicidade algébrica é 2. A multiplicidade geométrica pode ser 1 ou 2. Ainda assim, não chega a 3. - Para
, a multiplicidade algébrica é 3. A multiplicidade geométrica pode ser 1, 2 ou 3. Aqui, é possível ter 3 autovetores linearmente independentes.
Passo 5
Como precisamos de um autovalor que suporte três autovetores linearmente independentes, o único que se encaixa é
, já que é o único com multiplicidade algébrica de pelo menos 3.
Resposta
O autovalor em questão deve ser
, pois é o único com multiplicidade suficiente para ter três vetores linearmente independentes associados a ele.