Classifique a cônica. Em cada caso, exiba o centro ou o vértice (se existir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica:
. Nosso objetivo aqui é classificar essa cônica e encontrar o centro ou vértice dela, se existir. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para completar os quadrados e colocar a equação na forma padrão das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o 4:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos dividir toda a equação por 17 para deixar na forma padrão:
Simplificando a fração:
Passo 6
Observando a forma padrão da equação de uma elipse:
Percebemos que nossa equação se encaixa nessa forma, onde:
Passo 7
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse. O centro da elipse está no ponto
, que é
.
Resposta
A cônica é uma elipse com centro no ponto
.