Classifique a cônica. Em cada caso, exiba o centro ou o vértice (se existir).
x^2+4 y^2-2 x+8 y-12=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo aqui é classificar essa cônica e encontrar o centro ou vértice dela, se existir. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para completar os quadrados e colocar a equação na forma padrão das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 - 2x + 4y^2 + 8y = 12 e de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-22)^2 = 1 . Para isso, pegamos o coeficiente de x^2 - 2x + 1 + 4y^2 + 8y = 12 + 1 , que é (x - 1)^2 + 4y^2 + 8y = 13 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (x - 1)^2 + 4(y^2 + 2y) = 13 . Primeiro, fatoramos o 4:
(22)^2 = 1
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de (x - 1)^2 + 4(y^2 + 2y + 1 - 1) = 13 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 4 = 13
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 = 17
Isso fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por 17 para deixar na forma padrão:
(x - 1)^217 + 4(y + 1)^217 = 1
Simplificando a fração:
(x - 1)^217 + (y + 1)^2174 = 1

Passo 6

Observando a forma padrão da equação de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Percebemos que nossa equação se encaixa nessa forma, onde:
h = 1, k = -1, a^2 = 17, b^2 = 174

Passo 7

Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse. O centro da elipse está no ponto , que é .

Resposta

A cônica é uma elipse com centro no ponto .

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