Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas E) 3 horas
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas E) 3 horas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas colônias de bactérias que crescem de maneiras diferentes: uma triplica a cada 3 horas e a outra duplica a cada 3 horas. A gente precisa descobrir em quanto tempo o número de bactérias dessas duas colônias vai ficar igual. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de crescimento exponencial, que é quando uma quantidade aumenta ou diminui em proporção ao seu próprio valor ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada colônia cresce. Para a colônia A que triplica a cada 3 horas, podemos representar o número de bactérias após $ t $ horas com a fórmula:
Aqui, $ 800 $ é a população inicial, e $ 3^{\frac{t}{3}} $ representa o triplicamento a cada 3 horas.
Passo 3
Já para a colônia B que duplica a cada 3 horas, a fórmula fica assim:
Neste caso, $ 2700 $ é a população inicial, e $ 2^{\frac{t}{3}} $ representa a duplicação a cada 3 horas.
Passo 4
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando as duas populações serão iguais, ou seja, quando $ N_A(t) = N_B(t) $. Então, igualamos as duas fórmulas:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos dividir os dois lados por 800 para simplificar:
Simplificando $ \frac{2700}{800} $:
Passo 6
Agora, vamos dividir os dois lados por $ 2^{\frac{t}{3}} $:
Passo 7
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
Passo 8
Isolando $ t $:
Calculando os valores dos logaritmos:
Resposta
A resposta correta é C) 9 horas.