Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas E) 3 horas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas colônias de bactérias que crescem de maneiras diferentes: uma triplica a cada 3 horas e a outra duplica a cada 3 horas. A gente precisa descobrir em quanto tempo o número de bactérias dessas duas colônias vai ficar igual. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de crescimento exponencial, que é quando uma quantidade aumenta ou diminui em proporção ao seu próprio valor ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada colônia cresce. Para a colônia A que triplica a cada 3 horas, podemos representar o número de bactérias após $ t $ horas com a fórmula:
t
Aqui, $ 800 $ é a população inicial, e $ 3^{\frac{t}{3}} $ representa o triplicamento a cada 3 horas.

Passo 3

Já para a colônia B que duplica a cada 3 horas, a fórmula fica assim:
NB(t) = 2700 times 2^t3
Neste caso, $ 2700 $ é a população inicial, e $ 2^{\frac{t}{3}} $ representa a duplicação a cada 3 horas.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando as duas populações serão iguais, ou seja, quando $ N_A(t) = N_B(t) $. Então, igualamos as duas fórmulas:
t

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos dividir os dois lados por 800 para simplificar:
3^t3 = 2700800 times 2^t3
Simplificando $ \frac{2700}{800} $:
2700800

Passo 6

Agora, vamos dividir os dois lados por $ 2^{\frac{t}{3}} $:
2^t3

Passo 7

Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
t
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
ln((32)^t3) = ln(3.375)

Passo 8

Isolando $ t $:
t
Calculando os valores dos logaritmos:
t = 3 times ln(3.375)ln(32)
t approx 3 times 1.2140.405
t approx 3 times 3

Resposta

A resposta correta é C) 9 horas.

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