Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por volts, e em centímetros. Qual a taxa máxima de variação do potencial no ponto ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um potencial elétrico numa lâmina plana, que é uma função volts, onde e estão em centímetros. A gente precisa descobrir qual é a taxa máxima de variação desse potencial no ponto . Para isso, vamos usar o conceito do gradiente, que nos mostra a direção e a taxa máxima de variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja, precisamos calcular e .
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Passo 6
A taxa máxima de variação do potencial é dada pela norma do gradiente:
Como , então:
Resposta
A taxa máxima de variação do potencial no ponto é volts.