Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por V(x, y) = 80 - 20 x e^(-(x^2 + y^2)/20) em volts, x e y em centímetros. Qual a taxa máxima de variação do potencial no ponto 1,2 ?
R: ||nabla f(1,2)|| = (2 * raiz(85)) / raiz(raiz(e)) volts

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um potencial elétrico numa lâmina plana, que é uma função volts, onde e estão em centímetros. A gente precisa descobrir qual é a taxa máxima de variação desse potencial no ponto . Para isso, vamos usar o conceito do gradiente, que nos mostra a direção e a taxa máxima de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 6

A taxa máxima de variação do potencial é dada pela norma do gradiente:
Como , então:

Resposta

A taxa máxima de variação do potencial no ponto é volts.

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