Uma possível modelagem para a porcentagem de canadenses fumantes é dada pela função
onde
é o número de anos após 1980*
© Em quais intervalos de tempo a porcentagem de fumantes no Canadá diminui e em quais aumenta?
© Em quais intervalos de tempo a porcentagem de fumantes no Canadá diminui e em quais aumenta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função quadrática que modela a porcentagem de fumantes no Canadá ao longo dos anos após 1980. A função é:
Aqui,
representa o número de anos após 1980. Nosso objetivo é descobrir em quais períodos essa porcentagem está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos mostram o comportamento crescente ou decrescente de uma função.
Passo 2
Primeiro, para saber quando a função está aumentando ou diminuindo, precisamos encontrar a derivada da função em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos descobrir quando a derivada é igual a zero. Isso nos dá o ponto crítico, onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo
:
Passo 4
Esse valor de
significa que 19,2 anos após 1980, ou seja, por volta de 1999, a tendência da porcentagem de fumantes muda. Agora vamos analisar os intervalos:
- Para
: Escolhendo um valor menor que 19,2, por exemplo, ,
Como
, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Para
: Escolhendo um valor maior que 19,2, por exemplo, ,
Como
, a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A porcentagem de fumantes no Canadá está diminuindo de 1980 até aproximadamente 1999 e aumentando a partir de 1999 em diante.
Exercícios relacionados
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(g) .
(g)
Suponha que a proporção P de pessoas afetadas por certa doença seja descrita por
onde
é o tempo em meses.
(b) Determine a taxa segundo o qual cresce 2 meses após o início da doença sabendo-se que, neste período, aproximadamente
da população está infectada. O que este resultado significa em termos práticos?
(b) Determine a taxa segundo o qual
Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a impl caçăo dada.
Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
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.