Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número de empregados, por uma função derivável , em que é medida em milhares e em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função , e pode-se mostrar que o número de empregados que maximiza a função é aquele para o qual .
(a) Usando as regras de derivação, calcule em termos da derivada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a produtividade média por empregado numa fábrica, que é dada pela função . Aqui, representa a quantidade de bens produzidos em milhares e é o número de empregados em centenas. O que precisamos fazer é calcular a derivada de em relação a , ou seja, , usando as regras de derivação e expressar isso em termos da derivada de , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Para encontrar , precisamos derivar essa função em relação a .

Passo 3

Como temos uma divisão de duas funções ( e ), vamos usar a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se você tem uma função , sua derivada é:

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente na nossa função , temos:
Aqui, é a derivada de e a derivada de em relação a é 1.

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar se necessário, mas essa já é uma forma simplificada em termos de .

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição .
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número de empregados, por uma função derivável , em que é medida em milhares e em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função , e pode-se mostrar que o número de empregados que maximiza a função é aquele para o qual .
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em .
Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.