Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
em termos da derivada
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a produtividade média por empregado numa fábrica, que é dada pela função
. Aqui,
representa a quantidade de bens produzidos em milhares e
é o número de empregados em centenas. O que precisamos fazer é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando as regras de derivação e expressar isso em termos da derivada de
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Para encontrar
, precisamos derivar essa função em relação a
.
Passo 3
Como temos uma divisão de duas funções (
e
), vamos usar a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se você tem uma função
, sua derivada é:
Passo 4
Aplicando a Regra do Quociente na nossa função
, temos:
Aqui,
é a derivada de
e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
se necessário, mas essa já é uma forma simplificada em termos de
.
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição
.
© Determine a posição
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em .
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.