Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número x de empregados, por uma função derivável p(x), em que p(x) é medida em milhares e x em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função M(x) = p(x) / x, e pode-se mostrar que o número x_0 de empregados que maximiza a função M(x) é aquele para o qual M'(x0) = 0.
(a) Usando as regras de derivação, calcule M'(x) em termos da derivada p'(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a produtividade média por empregado numa fábrica, que é dada pela função . Aqui, representa a quantidade de bens produzidos em milhares e é o número de empregados em centenas. O que precisamos fazer é calcular a derivada de em relação a , ou seja, , usando as regras de derivação e expressar isso em termos da derivada de , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Para encontrar , precisamos derivar essa função em relação a .

Passo 3

Como temos uma divisão de duas funções ( e ), vamos usar a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se você tem uma função , sua derivada é:

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente na nossa função , temos:
Aqui, é a derivada de e a derivada de em relação a é 1.

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar se necessário, mas essa já é uma forma simplificada em termos de .

Resposta

A derivada de em relação a é:

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