Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
em termos da derivada
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a produtividade média por empregado numa fábrica, que é dada pela função
. Aqui,
representa a quantidade de bens produzidos em milhares e
é o número de empregados em centenas. O que precisamos fazer é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando as regras de derivação e expressar isso em termos da derivada de
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Para encontrar
, precisamos derivar essa função em relação a
.
Passo 3
Como temos uma divisão de duas funções (
e
), vamos usar a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se você tem uma função
, sua derivada é:
Passo 4
Aplicando a Regra do Quociente na nossa função
, temos:
Aqui,
é a derivada de
e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
se necessário, mas essa já é uma forma simplificada em termos de
.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: