Suponha que a quantidade de um determinado medicamento no organismo horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula: Q=15(1/10)^2t sendo medido em miligramas. A expressão que fornece o tempo t em função da quantidade de medicamento Q é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a quantidade de um medicamento no corpo ao longo do tempo. A fórmula que nos dá essa quantidade é $ Q = 15 \left(\frac{1}{10}\right)^{2t} $, onde $ Q $ é a quantidade em miligramas e $ t $ é o tempo em horas. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que nos dê o tempo $ t $ em função da quantidade $ Q $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que temos: $ Q = 15 \left(\frac{1}{10}\right)^{2t} $. Aqui, o medicamento está desaparecendo do corpo com o tempo, e a quantidade diminui exponencialmente. Queremos isolar o $ t $ para descobrir quanto tempo leva para o corpo ter uma certa quantidade $ Q $ do medicamento.
Passo 3
Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por 15 para simplificar:
Passo 4
Agora, para resolver para $ t $, precisamos “tirar” o expoente. A maneira mais fácil de fazer isso é usando logaritmos. Vou usar o logaritmo natural (ln), mas você poderia usar qualquer base de logaritmo.
Passo 5
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 6
Uma propriedade dos logaritmos nos permite trazer o expoente para frente:
Passo 7
Agora, vamos isolar o $ t $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ 2 \ln\left(\frac{1}{10}\right) $:
Resposta
A expressão que fornece o tempo $ t $ em função da quantidade $ Q $ é: