Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4000 V . Qual é o raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma esfera condutora isolada que está mantendo um potencial elétrico de 4000 V. A pergunta é: qual é o raio mínimo que essa esfera precisa ter para evitar que ocorra uma descarga?
Aqui, estamos lidando com conceitos de Eletrostática, especificamente com potencial elétrico e campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar relacionar o potencial da esfera com o campo elétrico na superfície dela e garantir que esse campo não seja tão forte a ponto de causar uma descarga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o potencial elétrico (V) e o campo elétrico (E) estão relacionados em uma esfera condutora. A fórmula que relaciona o potencial de uma esfera com sua carga (Q) e raio (R) é:
Já o campo elétrico na superfície da esfera é dado por:
Agora, queremos expressar E em termos de V. Da primeira equação, podemos isolar Q:
Substituindo isso na segunda equação para E:
Simplificando:
Então, o campo elétrico na superfície da esfera é igual ao potencial dividido pelo raio.
Passo 3
Agora, para evitar uma descarga, precisamos garantir que o campo elétrico na superfície da esfera não exceda o campo de ruptura do ar, que é aproximadamente 3 × 10⁶ V/m. Isso significa que:
Usando a relação que encontramos:
Substituindo o valor de V = 4000 V:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o raio R:
Convertendo para milímetros:
Resposta
O raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga é de aproximadamente 1,33 milímetros.