Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4000 V . Qual é o raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma esfera condutora isolada que está mantendo um potencial elétrico de 4000 V. A pergunta é: qual é o raio mínimo que essa esfera precisa ter para evitar que ocorra uma descarga?
Aqui, estamos lidando com conceitos de Eletrostática, especificamente com potencial elétrico e campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar relacionar o potencial da esfera com o campo elétrico na superfície dela e garantir que esse campo não seja tão forte a ponto de causar uma descarga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o potencial elétrico (V) e o campo elétrico (E) estão relacionados em uma esfera condutora. A fórmula que relaciona o potencial de uma esfera com sua carga (Q) e raio (R) é:
V = 14pivarepsilon0 cdot QR
Já o campo elétrico na superfície da esfera é dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot QR^2
Agora, queremos expressar E em termos de V. Da primeira equação, podemos isolar Q:
Q = V cdot R cdot 4pivarepsilon01
Substituindo isso na segunda equação para E:
E = 14pivarepsilon0 cdot V cdot R cdot 4pivarepsilon0R^2
Simplificando:
E = VR
Então, o campo elétrico na superfície da esfera é igual ao potencial dividido pelo raio.

Passo 3

Agora, para evitar uma descarga, precisamos garantir que o campo elétrico na superfície da esfera não exceda o campo de ruptura do ar, que é aproximadamente 3 × 10⁶ V/m. Isso significa que:
E <= 3 times 10^6 , V/m
Usando a relação que encontramos:
VR <= 3 times 10^6
Substituindo o valor de V = 4000 V:
4000R <= 3 times 10^6

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o raio R:
R >= 40003 times 10^6
R >= 4 times 10^33 times 10^6
R >= 43 times 10^-3 , metros
R >= 1,333 times 10^-3 , metros
Convertendo para milímetros:
R >= 1,333 , mm

Resposta

O raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga é de aproximadamente 1,33 milímetros.

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