Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4000 V . Qual é o raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma esfera condutora isolada que está mantendo um potencial elétrico de 4000 V. A pergunta é: qual é o raio mínimo que essa esfera precisa ter para evitar que ocorra uma descarga?
Aqui, estamos lidando com conceitos de Eletrostática, especificamente com potencial elétrico e campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar relacionar o potencial da esfera com o campo elétrico na superfície dela e garantir que esse campo não seja tão forte a ponto de causar uma descarga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o potencial elétrico (V) e o campo elétrico (E) estão relacionados em uma esfera condutora. A fórmula que relaciona o potencial de uma esfera com sua carga (Q) e raio (R) é:
Já o campo elétrico na superfície da esfera é dado por:
Agora, queremos expressar E em termos de V. Da primeira equação, podemos isolar Q:
Substituindo isso na segunda equação para E:
Simplificando:
Então, o campo elétrico na superfície da esfera é igual ao potencial dividido pelo raio.

Passo 3

Agora, para evitar uma descarga, precisamos garantir que o campo elétrico na superfície da esfera não exceda o campo de ruptura do ar, que é aproximadamente 3 × 10⁶ V/m. Isso significa que:
Usando a relação que encontramos:
Substituindo o valor de V = 4000 V:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o raio R:
Convertendo para milímetros:

Resposta

O raio mínimo que a esfera deve ter para não resultar em descarga é de aproximadamente 1,33 milímetros.

Exercícios relacionados

Três blocos de massa e são unidos por uma corda de massa desprezível e encontram-se, nesta mesma sequência com do lado esquerdo do conjunto, sobre uma superfície horizontal sem atrito. Qual é a força de tensão na corda entre os blocos 2 e 3 sob a ação da força ?
Calcule a intensidade da projeção da Força sobre a força ângulo entre as forças.
401 N
Agora considere um elétron livre no ar, muito próximo da esfera. Se esse elétron esta inicialmente em repouso, que distancia radial irá viajar antes de alcançar uma energia cinética de ? Assuma um campo constante e que não há colisão com moléculas de ar durante esse deslocamento.
Considere os seguintes fenômenos envolvendo sistemas gasosos. Para cada caso, enuncie a principal lei empírica associada ao fenômeno observado.
iii) Quando estamos enchendo um balão, o volume dele aumenta a cada sopro de ar que damos no seu interior: