Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 10 e um desvio-padrão de 2. Determine o seguinte:
(a) P(X<13).
(b) P(X>9).
© P(6.
(d) P(2.
(e) P(-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal, com média ( mu) igual a 10 e desvio-padrão ( sigma) igual a 2. O que a gente precisa fazer aqui é calcular algumas probabilidades envolvendo X, ou seja, a chance de X ficar abaixo de um certo valor, acima de outro, ou dentro de um intervalo específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de padronização da distribuição normal, que transforma nossos valores em uma distribuição padrão (com média 0 e desvio-padrão 1), facilitando a consulta em tabelas de probabilidades ou usando funções de distribuição acumulada.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): P(X < 13).
Primeiro, a gente precisa padronizar o valor 13 usando a fórmula:
Z = X - musigma
Substituindo os valores:
Z = 13 - 102 = 32 = 1.5
Agora, queremos encontrar P(Z < 1.5). Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, descobrimos que:
P(Z < 1.5) approx 0.9332

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): P(X > 9).
Primeiro, padronizamos o valor 9:
Z = 9 - 102 = -12 = -0.5
Queremos encontrar P(Z > -0.5). Sabemos que:
P(Z > -0.5) = 1 - P(Z < -0.5)
Mas também sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
P(Z < -0.5) = 1 - P(Z < 0.5) approx 1 - 0.6915 = 0.3085
Portanto:
P(Z > -0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915

Passo 4

Vamos para a parte ©: P(6 < X < 14).
Primeiro, padronizamos os valores 6 e 14.
Para 6:
Z1 = 6 - 102 = -42 = -2
Para 14:
Z2 = 14 - 102 = 42 = 2
Agora, queremos encontrar P(-2 < Z < 2). Usando a tabela:
P(Z < 2) approx 0.9772
P(Z < -2) approx 0.0228
Então:
P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544

Passo 5

Agora, a parte (d): P(2 < X < 4).
Primeiro, padronizamos os valores 2 e 4.
Para 2:
Z1 = 2 - 102 = -82 = -4
Para 4:
Z2 = 4 - 102 = -62 = -3
Queremos encontrar P(-4 < Z < -3). Usando a tabela:
P(Z < -3) approx 0.0013
P(Z < -4) approx 0.00003
Então:
P(-4 < Z < -3) = P(Z < -3) - P(Z < -4) = 0.0013 - 0.00003 approx 0.00127

Passo 6

Por último, a parte (e): P(-2 < X < 8).
Primeiro, padronizamos os valores -2 e 8.
Para -2:
Z1 = -2 - 102 = -122 = -6
Para 8:
Z2 = 8 - 102 = -22 = -1
Queremos encontrar P(-6 < Z < -1). Usando a tabela:
P(Z < -1) approx 0.1587
P(Z < -6) approx 0.0000 (praticamente zero)
Então:
P(-6 < Z < -1) = P(Z < -1) - P(Z < -6) approx 0.1587 - 0 = 0.1587

Resposta

(a) P(X < 13) approx 0.9332
(b) P(X > 9) approx 0.6915
© P(6 < X < 14) approx 0.9544
(d) P(2 < X < 4) approx 0.0013
(e) P(-2 < X < 8) approx 0.1587

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