Suponha que
seja uma função derivável em
, satisfazendo
, para todo
. Se
, então determine
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde uma função
é derivável em todos os números reais. A função satisfaz a equação
para quaisquer números reais
e
. Além disso, sabemos que
. Nosso objetivo é descobrir o valor de
e a derivada
.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. Para isso, vamos escolher valores específicos para
e
na equação dada. Vamos definir
e
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Somando
dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
. Para isso, vamos usar a definição de derivada e a informação fornecida pelo limite. Sabemos que:
Como já descobrimos que
, a equação fica:
Então,
.
Passo 4
Para encontrar
em geral, vamos derivar a equação funcional dada. A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Sabendo que a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é 0 (já que
é constante), temos:
Agora, vamos substituir
por
:
Simplificando:
Como já sabemos que
:
Resposta
Exercícios relacionados
Use a definição de derivada para encontrar
, onde
Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Estude o sinal das expressões.
, em que
são dois reais dados.
Simplifique.