Suponha que f seja uma função derivável em R, satisfazendo f(a+b)=f(a)-2 f(b)+3 a b^2, para todo a, b in R. Se lim h 0 f(h)h=3, então determine f(0) e f^prime(x).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde uma função é derivável em todos os números reais. A função satisfaz a equação para quaisquer números reais e . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo é descobrir o valor de e a derivada .

Passo 2

Vamos começar encontrando f(0 + 0) = f(0) - 2f(0) + 3 cdot 0 cdot 0^2 . Para isso, vamos escolher valores específicos para f(0) = f(0) - 2f(0) + 0 e f(0) = -f(0) na equação dada. Vamos definir 2f(0) = 0 implies f(0) = 0 e . Substituindo na equação:
Simplificando:
Somando dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada f'(0) = limh 0 f(h) - f(0)h . Para isso, vamos usar a definição de derivada e a informação fornecida pelo limite. Sabemos que:
f'(0) = limh 0 f(h)h = 3
Como já descobrimos que , a equação fica:
Então, .

Passo 4

Para encontrar f(a + b) = f(a) - 2f(b) + 3ab^2 em geral, vamos derivar a equação funcional dada. A equação é:
ddbf(a + b) = ddb[f(a) - 2f(b) + 3ab^2]
Vamos derivar ambos os lados em relação a f'(a + b) = -2f'(b) + 6ab :
f'(a + 0) = -2f'(0) + 6a cdot 0
Sabendo que a derivada de f'(a) = -2f'(0) em relação a f'(a) = -2 cdot 3 = -6 é e a derivada de em relação a é 0 (já que é constante), temos:
Agora, vamos substituir por :
Simplificando:
Como já sabemos que :

Resposta

e para todo .

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