Suponha que seja uma função derivável em , satisfazendo , para todo . Se , então determine e .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde uma função é derivável em todos os números reais. A função satisfaz a equação para quaisquer números reais e . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo é descobrir o valor de e a derivada .

Passo 2

Vamos começar encontrando . Para isso, vamos escolher valores específicos para e na equação dada. Vamos definir e . Substituindo na equação:
Simplificando:
Somando dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada . Para isso, vamos usar a definição de derivada e a informação fornecida pelo limite. Sabemos que:
Como já descobrimos que , a equação fica:
Então, .

Passo 4

Para encontrar em geral, vamos derivar a equação funcional dada. A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a :
Sabendo que a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0 (já que é constante), temos:
Agora, vamos substituir por :
Simplificando:
Como já sabemos que :

Resposta

e para todo .

Exercícios relacionados

Use a definição de derivada para encontrar , onde
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .
Estude o sinal das expressões.
, em que são dois reais dados.
Simplifique.