Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de cálculo. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada por no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. E para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função. Então, vamos calcular a derivada de .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora que temos a expressão para a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 10.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto pelo qual ela passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde:
  • é a inclinação da reta,
  • é o ponto dado.
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma mais familiar, :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

Exercícios relacionados

Seja:

Esboce o gráfico de .
Considere a função e determine os pontos onde não é derivável.
Use a definição de derivada para encontrar , onde
Suponha que seja uma função derivável em , satisfazendo , para todo . Se , então determine e .