Use a definição de derivada para encontrar , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos como calcular a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para isso, vamos usar a fórmula da derivada pelo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação média da função conforme (um pequeno incremento) se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos calcular :
Vamos expandir :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que . Então:

Passo 6

Substituindo na fórmula da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, calculamos o limite conforme se aproxima de 0:

Resposta

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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .
Seja:

Esboce o gráfico de .
Suponha que seja uma função derivável em , satisfazendo , para todo . Se , então determine e .
Estude o sinal das expressões.
, em que são dois reais dados.