Suponha um sistema oscilatório governado pela equação
m d^2 xd t^2+rho d xd t+k x=F0 cos (omega t)
Faça o que for solicitado abaixo, desenvolvendo todos os cálculos necessários:
Mostre que, no regime estacionário, a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada, isto é, mostre que
barP=m gamma dotx^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema oscilatório descrito pela equação diferencial:
m d^2 xd t^2 + rho d xd t + k x = F0 cos (omega t)
O objetivo é mostrar que, no regime estacionário (ou seja, depois de um tempo suficiente para que as oscilações se estabilizem), a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada pelo sistema. Matemáticamente, queremos provar que:
barP = m gamma dotx^2
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas oscilatórios, regime estacionário, e como calcular potências médias em tais sistemas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o regime estacionário. Quando um sistema oscilatório é submetido a uma força externa periódica, como F0 cos (omega t), ele eventualmente atinge um estado onde as oscilações permanecem constantes no tempo, sem transientes. Nesse estado, a resposta do sistema é uma oscilação com a mesma frequência da força externa.
Então, vamos assumir uma solução para x(t) na forma de uma oscilação senoidal com a mesma frequência omega:
x(t) = X cos(omega t - de
Aqui, X é a amplitude da oscilação e de é a fase de defasagem entre a força externa e a resposta do sistema.

Passo 3

Agora, vamos derivar x(t) para encontrar a velocidade dotx(t) e a aceleração ddotx(t):
dotx(t) = -X omega sin(omega t - de
ddotx(t) = -X omega^2 cos(omega t - de

Passo 4

Vamos substituir x(t), dotx(t) e ddotx(t) na equação diferencial original:
m (-X omega^2 cos(omega t - de
Vamos reorganizar os termos:
(-m omega^2 X + k X) cos(omega t - de

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes dos termos cos(omega t) e sin(omega t) devem ser iguais nos dois lados da equação. Portanto, podemos escrever duas equações:
  1. Para os termos em cos:
(-m omega^2 + k) X cos(de
  1. Para os termos em sin:
rho omega X sin(de
A segunda equação implica que ou X = 0, o que não é interessante, ou sin(de. Isso significa que de ou pi, ou seja, a defasagem é múltiplo de pi.

Passo 6

Assumindo de (para simplificar), a equação para os termos em cos fica:
(-m omega^2 + k) X = F0
Resolvendo para X:
X = F0k - m omega^2
Esse é o módulo da amplitude no regime estacionário.

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência média fornecida pela força externa. A potência instantânea é dada por:
P(t) = F(t) cdot dotx(t)
Substituindo F(t) = F0 cos(omega t) e dotx(t) = -X omega sin(omega t):
P(t) = F0 cos(omega t) cdot (-X omega sin(omega t)) = -F0 X omega cos(omega t) sin(omega t)
A potência média barP ao longo do tempo é:
barP = 1T integral0^T P(t) dt
Onde T é o período da oscilação.
Usando a identidade trigonométrica sin(2theta) = 2 sin theta cos theta, temos:
P(t) = -F0 X omega2 sin(2omega t)
Integrando ao longo de um período:
barP = -F0 X omega2 cdot 1T integral0^T sin(2omega t) dt = 0
Isso parece indicar que a potência média é zero, o que não faz sentido. Vamos reavaliar.

Passo 8

Na verdade, percebemos que assumimos de, mas na presença de uma força dissipativa ( rho > 0), há uma defasagem de. Vamos reconsiderar a fase.
Voltando à Passo 5, temos:
rho omega X sin(de
Na presença de dissipação, rho neq 0, então sin(de, o que implica que de. Portanto, precisamos manter a fase de na nossa análise.
Vamos reescrever a potência instantânea considerando a defasagem:
P(t) = F0 cos(omega t) cdot dotx(t) = F0 cos(omega t) cdot (-X omega sin(omega t - de
Usando a identidade trigonométrica:
P(t) = -F0 X omega [sin(omega t - de
Que pode ser reescrita como:
P(t) = -F0 X omega2 [sin(de

Passo 9

Agora, calculando a potência média ao longo do tempo:
barP = -F0 X omega2 [ sin(de
O termo que envolve a integral de sin(2omega t - de sobre um período T é zero, então:
barP = -F0 X omega2 sin(de

Passo 10

Agora, vamos calcular a potência dissipada pela força de atrito ou resistência, que é dada por:
Pdissipada = rho dotx^2
A potência média dissipada é:
Pdissipada = rho dotx^2
Sabemos que:
dotx(t) = -X omega sin(omega t - de
Então:
dotx^2 = X^2 omega^22
Portanto:
Pdissipada = rho cdot X^2 omega^22

Passo 11

Agora, igualando a potência média fornecida pela força externa à potência média dissipada:
barP = Pdissipada
Substituindo os valores encontrados:
-F0 X omega2 sin(de
Simplificando:
-F0 sin(de

Passo 12

Vamos lembrar que, no Passo 5, encontramos que:
(-m omega^2 + k) X cos(de
E sabemos que:
F0 sin(de
Dividindo as duas equações, temos:
tan(de
Isso nos dá a relação entre a fase de, a frequência omega, e os parâmetros do sistema.

Passo 13

Voltando à expressão que queremos provar:
barP = m gamma dotx^2
Sabemos que:
dotx^2 = X^2 omega^22
E da equação original, podemos relacionar gamma com rho. Supondo que gamma = rhom, temos:
m gamma dotx^2 = m cdot rhom cdot X^2 omega^22 = rho X^2 omega^22
Que é exatamente a expressão para a potência média dissipada que encontramos anteriormente.

Resposta

Com isso, demonstramos que, no regime estacionário, a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada pelo sistema:
barP = m gamma dotx^2

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