Suponha um sistema oscilatório governado pela equação
Faça o que for solicitado abaixo, desenvolvendo todos os cálculos necessários:
Mostre que, no regime estacionário, a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada, isto é, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema oscilatório descrito pela equação diferencial:
m d^2 xd t^2 + rho d xd t + k x = F0 cos (omega t)
O objetivo é mostrar que, no regime estacionário (ou seja, depois de um tempo suficiente para que as oscilações se estabilizem), a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada pelo sistema. Matemáticamente, queremos provar que:
barP = m gamma dotx^2
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas oscilatórios, regime estacionário, e como calcular potências médias em tais sistemas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o regime estacionário. Quando um sistema oscilatório é submetido a uma força externa periódica, como F0 cos (omega t), ele eventualmente atinge um estado onde as oscilações permanecem constantes no tempo, sem transientes. Nesse estado, a resposta do sistema é uma oscilação com a mesma frequência da força externa.
Então, vamos assumir uma solução para x(t) na forma de uma oscilação senoidal com a mesma frequência omega:
x(t) = X cos(omega t - de
Aqui, X é a amplitude da oscilação e de é a fase de defasagem entre a força externa e a resposta do sistema.
Passo 3
Agora, vamos derivar x(t) para encontrar a velocidade dotx(t) e a aceleração ddotx(t):
dotx(t) = -X omega sin(omega t - de
ddotx(t) = -X omega^2 cos(omega t - de
Passo 4
Vamos substituir x(t), dotx(t) e ddotx(t) na equação diferencial original:
m (-X omega^2 cos(omega t - de
Vamos reorganizar os termos:
(-m omega^2 X + k X) cos(omega t - de
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes dos termos cos(omega t) e sin(omega t) devem ser iguais nos dois lados da equação. Portanto, podemos escrever duas equações:
Para os termos em cos:
(-m omega^2 + k) X cos(de
Para os termos em sin:
rho omega X sin(de
A segunda equação implica que ou X = 0, o que não é interessante, ou sin(de. Isso significa que de ou pi, ou seja, a defasagem é múltiplo de pi.
Passo 6
Assumindo de (para simplificar), a equação para os termos em cos fica:
(-m omega^2 + k) X = F0
Resolvendo para X:
X = F0k - m omega^2
Esse é o módulo da amplitude no regime estacionário.
Passo 7
Agora, vamos calcular a potência média fornecida pela força externa. A potência instantânea é dada por: