Suponha um sistema oscilatório governado pela equação
Faça o que for solicitado abaixo, desenvolvendo todos os cálculos necessários:
Encontre as expressões da amplitude e da defasagem na região de ressonância. Esboce-as graficamente. No limite em que
, como se comportariam a amplitude e a defasagem? Nesta situação, também faça um esboço gráfico de ambas.
Encontre as expressões da amplitude e da defasagem na região de ressonância. Esboce-as graficamente. No limite em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema oscilatório descrito pela equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com um oscillador harmônico forçado com amortecimento. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a amplitude e a defasagem na região de ressonância, esboçá-las graficamente e analisar como elas se comportam quando o amortecimento
tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividimos tudo por
para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Aqui, identificamos os parâmetros do sistema:
-
é a frequência natural do sistema sem amortecimento. -
é o coeficiente de amortecimento.
Passo 3
A solução geral dessa equação é a soma da solução homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa). Como estamos interessados no movimento estacionário, focamos na solução particular.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde:
-
é a amplitude da oscilação. -
é a defasagem entre a força externa e a resposta do sistema.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Passo 5
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Podemos expressar essa equação usando as identidades trigonométricas e igualar os coeficientes dos termos cosseno e seno separadamente:
Passo 7
Resolvemos essas equações para encontrar
e
. A partir da segunda equação:
Então, a defasagem é:
Passo 8
Para encontrar a amplitude
, usamos a primeira equação:
Passo 9
Na região de ressonância, a amplitude atinge seu valor máximo. Para encontrar a frequência de ressonância
, derivamos a expressão da amplitude em relação a
e igualamos a zero. Após alguns cálculos, obtemos:
Passo 10
Agora, vamos esboçar graficamente a amplitude e a defasagem em função da frequência
. Na região de ressonância:
- Amplitude: Tem um pico máximo em
. - Defasagem: Passa de 0 a
conforme a frequência aumenta.
Passo 11
Analisando o limite quando
(amortecimento nulo):
- Amplitude: A expressão simplifica para:
No ponto de ressonância (
), a amplitude tende ao infinito, indicando uma ressonância perfeita.
- Defasagem: Vemos que:
Ou seja, a defasagem muda abruptamente de 0 para
na frequência natural.
Passo 12
Finalmente, esboçamos novamente os gráficos de amplitude e defasagem nesse limite:
- Amplitude: Apresenta um pico infinito em
. - Defasagem: Salta de 0 para
exatamente em .
Resposta
As expressões da amplitude e da defasagem na região de ressonância são:
No limite quando
, a amplitude tende a:
E a defasagem muda abruptamente de 0 para
na frequência natural
.