Suponha um sistema oscilatório governado pela equação
m d^2 xd t^2+rho d xd t+k x=F0 cos (omega t)
Faça o que for solicitado abaixo, desenvolvendo todos os cálculos necessários:
Encontre as expressões da amplitude e da defasagem na região de ressonância. Esboce-as graficamente. No limite em que gamma 0, como se comportariam a amplitude e a defasagem? Nesta situação, também faça um esboço gráfico de ambas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema oscilatório descrito pela equação diferencial:
m d^2 xd t^2 + rho d xd t + k x = F0 cos (omega t)
Aqui, estamos lidando com um oscillador harmônico forçado com amortecimento. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a amplitude e a defasagem na região de ressonância, esboçá-las graficamente e analisar como elas se comportam quando o amortecimento gamma tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividimos tudo por m para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
d^2 xd t^2 + rhom d xd t + km x = F0m cos (omega t)
Aqui, identificamos os parâmetros do sistema:
  • omega0 = raizkm é a frequência natural do sistema sem amortecimento.
  • gamma = rho2m é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

A solução geral dessa equação é a soma da solução homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa). Como estamos interessados no movimento estacionário, focamos na solução particular.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
xp(t) = A cos(omega t - de
Onde:
  • A é a amplitude da oscilação.
  • de é a defasagem entre a força externa e a resposta do sistema.

Passo 4

Vamos derivar xp(t) para substituir na equação original:
d xpd t = -A omega sin(omega t - de
d^2 xpd t^2 = -A omega^2 cos(omega t - de

Passo 5

Substituímos xp(t) e suas derivadas na equação diferencial:
- A omega^2 cos(omega t - de
Simplificando:
( km - omega^2 ) A cos(omega t - de

Passo 6

Podemos expressar essa equação usando as identidades trigonométricas e igualar os coeficientes dos termos cosseno e seno separadamente:
A ( km - omega^2 ) cos(de
-A ( km - omega^2 ) sin(de

Passo 7

Resolvemos essas equações para encontrar A e de. A partir da segunda equação:
tan(de
Então, a defasagem é:
de

Passo 8

Para encontrar a amplitude A, usamos a primeira equação:
A = F0mraiz ( km - omega^2 )^2 + ( rho omegam )^2 = F0m raiz ( omega0^2 - omega^2 )^2 + (2gamma omega)^2

Passo 9

Na região de ressonância, a amplitude atinge seu valor máximo. Para encontrar a frequência de ressonância omegar, derivamos a expressão da amplitude em relação a omega e igualamos a zero. Após alguns cálculos, obtemos:
omegar = raiz omega0^2 - 2gamma^2

Passo 10

Agora, vamos esboçar graficamente a amplitude e a defasagem em função da frequência omega. Na região de ressonância:
  • Amplitude: Tem um pico máximo em omegar.
  • Defasagem: Passa de 0 a pi conforme a frequência aumenta.

Passo 11

Analisando o limite quando gamma 0 (amortecimento nulo):
  • Amplitude: A expressão simplifica para:
A = F0m | omega0^2 - omega^2 |
No ponto de ressonância ( omega = omega0), a amplitude tende ao infinito, indicando uma ressonância perfeita.
  • Defasagem: Vemos que:
de
Ou seja, a defasagem muda abruptamente de 0 para pi na frequência natural.

Passo 12

Finalmente, esboçamos novamente os gráficos de amplitude e defasagem nesse limite:
  • Amplitude: Apresenta um pico infinito em omega = omega0.
  • Defasagem: Salta de 0 para pi exatamente em omega = omega0.

Resposta

As expressões da amplitude e da defasagem na região de ressonância são:
A = F0m raiz ( omega0^2 - omega^2 )^2 + (2gamma omega)^2
de
No limite quando gamma 0, a amplitude tende a:
A = F0m | omega0^2 - omega^2 |
E a defasagem muda abruptamente de 0 para pi na frequência natural omega0.

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