Verifique que a expressão
é solução para a equação de onda linear.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a função
é uma solução para a equação de onda linear. Isso significa que a gente precisa usar conceitos de derivadas parciais para confirmar se essa expressão satisfaz a equação de onda. Vamos precisar calcular as derivadas segunda de $ y $ em relação a $ t $ e $ x $ e ver se elas se relacionam conforme a equação de onda exige.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda linear. Ela geralmente é escrita assim:
Aqui, $ c $ é a velocidade da onda. No nosso caso, parece que $ c = 3 $, já que temos $ x - 3t $ na função. Nosso objetivo é calcular as derivadas segunda de $ y $ em relação a $ t $ e $ x $ e ver se a equação acima é satisfeita.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y $ em relação a $ t $:
A derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $:
E a segunda derivada:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos comparar as segundas derivadas com a equação de onda. Sabemos que:
E:
Resposta
Como
, concluímos que a função
é, de fato, uma solução para a equação de onda linear.