Verifique que a expressão
y(x, t)=2(x-3 t)^2+1
é solução para a equação de onda linear.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a função
y(x, t) = 2(x - 3t)^2 + 1
é uma solução para a equação de onda linear. Isso significa que a gente precisa usar conceitos de derivadas parciais para confirmar se essa expressão satisfaz a equação de onda. Vamos precisar calcular as derivadas segunda de $ y $ em relação a $ t $ e $ x $ e ver se elas se relacionam conforme a equação de onda exige.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda linear. Ela geralmente é escrita assim:
partial^2 ypartial t^2 = c^2 partial^2 ypartial x^2
Aqui, $ c $ é a velocidade da onda. No nosso caso, parece que $ c = 3 $, já que temos $ x - 3t $ na função. Nosso objetivo é calcular as derivadas segunda de $ y $ em relação a $ t $ e $ x $ e ver se a equação acima é satisfeita.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y $ em relação a $ t $:
y
A derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
t

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $:
y
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
t
Simplificando ainda mais:
partial^2 ypartial t^2 = ddt ( 12(x - 3t)[(x - 3t)^2 + 1]^2 )

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
E a segunda derivada:
x
Aplicando a regra do quociente:
partial ypartial x = ddx ( 2(x - 3t)^2 + 1 ) = -4(x - 3t)[(x - 3t)^2 + 1]^2
Simplificando:
partial^2 ypartial x^2 = ddx ( -4(x - 3t)[(x - 3t)^2 + 1]^2 )

Passo 6

Agora, vamos comparar as segundas derivadas com a equação de onda. Sabemos que:
partial^2 ypartial t^2 = 108(x - 3t)^2 - 36 div [(x - 3t)^2 + 1]^3
E:
c^2 partial^2 ypartial x^2 = 9 times 12(x - 3t)^2 - 4[(x - 3t)^2 + 1]^3 = 108(x - 3t)^2 - 36[(x - 3t)^2 + 1]^3

Resposta

Como partial^2 ypartial t^2 = c^2 partial^2 ypartial x^2, concluímos que a função
y(x, t) = 2(x - 3t)^2 + 1
é, de fato, uma solução para a equação de onda linear.

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