Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
a m^2 + (b - a) m + c = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial chamada equação de Cauchy-Euler, que é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes que variam com . A equação dada é:
O exercício sugere que as soluções dessa equação são da forma . Nosso objetivo é mostrar que a equação característica associada a essa equação diferencial tem a forma:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos, explicando cada conceito conforme avançamos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, ao supor que a solução tem a forma , estamos assumindo uma solução do tipo potência. Isso é comum em equações de Cauchy-Euler porque os coeficientes dependem de de uma maneira específica que se ajusta bem a potências de .

Passo 3

Vamos substituir na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Observamos que todos os termos possuem , então podemos fatorar esse termo:
Como não é zero para , podemos dividir ambos os lados da equação por :

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro dos colchetes:
Juntando os termos semelhantes:

Resposta

A equação característica da equação de Cauchy-Euler dada é:

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Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas, m1 ≠ m2, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
y(x) = C1 x^m1 + C2 x^m2
Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando t -> infinito.
y'' + 4y' + 5y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0
(2,0) Considere a função integrável f:[-2,0] [0,4] dada por f(x)=4-x^2. Utilize um limite de somas superiores para calcular a integral definida integral-2^0 f(x) d x.
Lembrete: 1+2+cdots+n=n(n+1)2 e 1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2 n+1)6.
Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas, m1 = m2 = m, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
y(x) = C1 x^m + C2 x^m ln x