Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial chamada equação de Cauchy-Euler, que é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes que variam com
. A equação dada é:
O exercício sugere que as soluções dessa equação são da forma
. Nosso objetivo é mostrar que a equação característica associada a essa equação diferencial tem a forma:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos, explicando cada conceito conforme avançamos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, ao supor que a solução tem a forma
, estamos assumindo uma solução do tipo potência. Isso é comum em equações de Cauchy-Euler porque os coeficientes dependem de
de uma maneira específica que se ajusta bem a potências de
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Observamos que todos os termos possuem
, então podemos fatorar esse termo:
Como
não é zero para
, podemos dividir ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão dentro dos colchetes:
Juntando os termos semelhantes:
Resposta
A equação característica da equação de Cauchy-Euler dada é:
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Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas, , a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas,
Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando
.
Lembrete:
Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas, , a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas,