(2,0) Considere a função integrável f:[-2,0] [0,4] dada por f(x)=4-x^2. Utilize um limite de somas superiores para calcular a integral definida integral-2^0 f(x) d x.
Lembrete: 1+2+cdots+n=n(n+1)2 e 1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2 n+1)6.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo usando o limite de somas superiores. Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, e para isso, vamos precisar entender como funcionam as somas de Riemann, especialmente as somas superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo De em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo ( ) é dado por:

Passo 3

Em cada subintervalo, para encontrar a soma superior, precisamos identificar o maior valor que a função atinge nesse intervalo. Como é uma função decrescente no intervalo , o valor máximo em cada subintervalo ocorre na extremidade esquerda.

Passo 4

Vamos expressar os pontos que dividem o intervalo. O ponto geral no xi = -2 + i cdot De-ésimo subintervalo é:
para .

Passo 5

O valor máximo de f(xi-1) = 4 - (-2 + (i-1) cdot 2n)^2 no -ésimo subintervalo é:

Passo 6

A soma superior ( Ssup = sumi=1^n f(xi-1) cdot De) é a soma desses valores máximos multiplicados pelo comprimento de cada subintervalo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
-2 + (i-1) cdot 2n = -2 + 2(i-1)n = -2 + 2i - 2n = -2(1 - in)
Elevando ao quadrado:
(-2 + (i-1) cdot 2n)^2 = 4(1 - in)^2
Então,
f(xi-1) = 4 - 4(1 - in)^2

Passo 8

Substituindo na soma superior:
Ssup = sumi=1^n [4 - 4(1 - in)^2] cdot 2n = 8 sumi=1^n [1 - (1 - in)^2] cdot 1n

Passo 9

Simplificando a expressão dentro da soma:
1 - (1 - in)^2 = 2in - (in)^2
Portanto,
Ssup = 8 sumi=1^n (2in - i^2n^2) cdot 1n = 8 (2 1n^2 sumi=1^n i - 1n^3 sumi=1^n i^2 )

Passo 10

Usando as fórmulas de somas:
sumi=1^n i = n(n+1)2
sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6
Substituindo:
Ssup = 8 (2 1n^2 cdot n(n+1)2 - 1n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 ) = 8 ( n+1n - (n+1)(2n+1)6n^2 )

Passo 11

Agora, calculamos o limite quando limn to infty Ssup = 8 ( limn to infty n+1n - limn to infty (n+1)(2n+1)6n^2 ) = 8 (1 - 26) = 8 (1 - 13) = 8 cdot 23 = 163 tende ao infinito:

Passo 12

Portanto, o valor da integral definida é:
integral-2^0 (4 - x^2) , dx = 163

Resposta

A integral definida é igual a .

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