Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas,
, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas,
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial conhecida como equação de Cauchy-Euler, que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que variam com
. A equação dada é:
Para resolver, vamos assumir que as soluções são da forma
. Precisaremos encontrar o valor de
e, posteriormente, construir a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na equação original. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Essas derivadas são essenciais para substituir na equação diferencial.
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação de Cauchy-Euler:
Simplificando cada termo:
Perceba que todos os termos têm
, o que facilita a simplificação.
Passo 4
Fatorando
da expressão, temos:
Como
nunca é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
, resultando em:
Essa equação é chamada de equação característica da equação de Cauchy-Euler.
Passo 5
Vamos organizar a equação característica para facilitar a resolução:
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é uma equação quadrática em
, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 6
A solução geral de uma equação quadrática
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Portanto:
Dado que as raízes são reais e repetidas, o discriminante (
) é igual a zero:
Isso significa que temos uma única raiz real,
, com multiplicidade 2.
Passo 7
Quando as raízes da equação característica são reais e repetidas (
), a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação de Cauchy-Euler, quando as raízes da equação característica são reais e repetidas, é:
Exercícios relacionados
Lembrete:
Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma: