Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas, m1 = m2 = m, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
y(x) = C1 x^m + C2 x^m ln x

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial conhecida como equação de Cauchy-Euler, que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que variam com . A equação dada é:
Para resolver, vamos assumir que as soluções são da forma . Precisaremos encontrar o valor de e, posteriormente, construir a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, substituímos na equação original. Para isso, precisamos calcular as derivadas de em relação a :
Essas derivadas são essenciais para substituir na equação diferencial.

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação de Cauchy-Euler:
Simplificando cada termo:
Perceba que todos os termos têm , o que facilita a simplificação.

Passo 4

Fatorando da expressão, temos:
Como nunca é zero para , podemos dividir ambos os lados por , resultando em:
Essa equação é chamada de equação característica da equação de Cauchy-Euler.

Passo 5

Vamos organizar a equação característica para facilitar a resolução:
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é uma equação quadrática em , que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 6

A solução geral de uma equação quadrática é dada por:
No nosso caso, , e . Portanto:
Dado que as raízes são reais e repetidas, o discriminante ( ) é igual a zero:
Isso significa que temos uma única raiz real, , com multiplicidade 2.

Passo 7

Quando as raízes da equação característica são reais e repetidas ( ), a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação de Cauchy-Euler, quando as raízes da equação característica são reais e repetidas, é:

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Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
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