Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, ao redor da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente o método das seções transversais (também conhecido como método dos discos ou anéis). Precisamos entender como configurar a integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. As curvas
e
se interceptam quando
. Resolvendo para
:
Então, nosso intervalo de integração vai de
a
.
Passo 3
Como vamos girar em torno da reta
, precisamos determinar o raio dos anéis que formam o sólido. O raio externo é a distância da reta
até a curva superior, que nesse caso é constante, já que estamos girando ao redor dela. Porém, a curva inferior é
, então a distância até
será
.
Passo 4
O método das seções transversais para rotação em torno de uma reta paralela ao eixo das funções envolve calcular a área do anel formado e integrar essa área ao longo do intervalo. A área de um anel é dada por:
Onde:
-
é o raio externo. -
é o raio interno.
Passo 5
No nosso caso:
- O raio externo
é a distância da reta até a própria reta , que é zero, mas isso não faz sentido aqui. Na verdade, como estamos girando em torno de , o raio externo é constante e igual a . - O raio interno
é a distância da curva até , que calculamos como .
Então, a área do anel simplifica para:
Mas como a área não pode ser negativa, percebemos que precisamos ajustar os raios. Na verdade, como estamos girando em torno de
, o raio externo
é
(a distância da origem até
) e o raio interno
é
.
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 7
Com a área do anel definida, podemos configurar a integral para o volume
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.