Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, ao redor da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente o método das seções transversais (também conhecido como método dos discos ou anéis). Precisamos entender como configurar a integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. As curvas
e
se interceptam quando
. Resolvendo para
:
Então, nosso intervalo de integração vai de
a
.
Passo 3
Como vamos girar em torno da reta
, precisamos determinar o raio dos anéis que formam o sólido. O raio externo é a distância da reta
até a curva superior, que nesse caso é constante, já que estamos girando ao redor dela. Porém, a curva inferior é
, então a distância até
será
.
Passo 4
O método das seções transversais para rotação em torno de uma reta paralela ao eixo das funções envolve calcular a área do anel formado e integrar essa área ao longo do intervalo. A área de um anel é dada por:
Onde:
-
é o raio externo. -
é o raio interno.
Passo 5
No nosso caso:
- O raio externo
é a distância da reta até a própria reta , que é zero, mas isso não faz sentido aqui. Na verdade, como estamos girando em torno de , o raio externo é constante e igual a . - O raio interno
é a distância da curva até , que calculamos como .
Então, a área do anel simplifica para:
Mas como a área não pode ser negativa, percebemos que precisamos ajustar os raios. Na verdade, como estamos girando em torno de
, o raio externo
é
(a distância da origem até
) e o raio interno
é
.
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 7
Com a área do anel definida, podemos configurar a integral para o volume
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Suponha que
convirja quando
e divirja quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Um carro pode viajar 220 quilômetros com um tanque cheio de gasolina. Quantos tanques cheios de gasolina seriam necessários para viajar 1314 quilômetros?
Responda se são falsas ou verdadeiras as afirmações abaixo. Justifique as afirmativas verdadeiras e dê exemplos para mostrar que as afirmativas falsas foram erroneamente deduzidas.Se
e
, então
.
Encontre os valores de
tais que a área da região delimitada pelas parábolas
seja 576.