Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: , ao redor da reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas e em torno da reta . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente o método das seções transversais (também conhecido como método dos discos ou anéis). Precisamos entender como configurar a integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. As curvas e se interceptam quando . Resolvendo para :
Então, nosso intervalo de integração vai de a .

Passo 3

Como vamos girar em torno da reta , precisamos determinar o raio dos anéis que formam o sólido. O raio externo é a distância da reta até a curva superior, que nesse caso é constante, já que estamos girando ao redor dela. Porém, a curva inferior é , então a distância até será .

Passo 4

O método das seções transversais para rotação em torno de uma reta paralela ao eixo das funções envolve calcular a área do anel formado e integrar essa área ao longo do intervalo. A área de um anel é dada por:
Onde:
  • é o raio externo.
  • é o raio interno.

Passo 5

No nosso caso:
  • O raio externo é a distância da reta até a própria reta , que é zero, mas isso não faz sentido aqui. Na verdade, como estamos girando em torno de , o raio externo é constante e igual a .
  • O raio interno é a distância da curva até , que calculamos como .
Então, a área do anel simplifica para:
Mas como a área não pode ser negativa, percebemos que precisamos ajustar os raios. Na verdade, como estamos girando em torno de , o raio externo é (a distância da origem até ) e o raio interno é .
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 7

Com a área do anel definida, podemos configurar a integral para o volume :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Sabemos que , então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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