Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x-4)^nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada por:
sumn=1^infty (x-4)^nn
Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge. A gente vai precisar entender um pouquinho sobre séries e o conceito de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste diz que, para uma série limn to infty | an+1an | , a gente olha para:
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não funciona.

Passo 3

Aplicando isso na nossa série, temos:
an = (x-4)^nn
Então,
an+1 = (x-4)^n+1n+1
Agora, vamos calcular a razão:
| an+1an | = | (x-4)^n+1n+1 cdot n(x-4)^n | = | (x-4) cdot nn+1 | = |x-4| cdot nn+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando limn to infty |x-4| cdot nn+1 = |x-4| cdot limn to infty nn+1 = |x-4| cdot 1 = |x-4| tende a infinito:

Passo 5

Segundo o teste da razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x-4| < 1
Isso nos dá o raio de convergência. O raio de convergência R = 1 é o valor tal que a série converge para . Aqui, temos:

Passo 6

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, vamos resolver a inequação:
|x-4| < 1
Isso significa que:
-1 < x - 4 < 1
Adicionando 4 em todas as partes:
3 < x < 5
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos e .

Passo 7

Vamos testar sumn=1^infty (3-4)^nn = sumn=1^infty (-1)^nn :
Substituindo na série:
sumn=1^infty (5-4)^nn = sumn=1^infty 1n
Essa é a série alternada de Leibniz, que converge.
Agora, vamos testar :
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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