Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada por:
Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge. A gente vai precisar entender um pouquinho sobre séries e o conceito de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste diz que, para uma série , a gente olha para:
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não funciona.
Agora, vamos calcular o limite desse valor quando limn to infty |x-4| cdot nn+1 = |x-4| cdot limn to infty nn+1 = |x-4| cdot 1 = |x-4| tende a infinito:
Passo 5
Segundo o teste da razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x-4| < 1
Isso nos dá o raio de convergência. O raio de convergência R = 1 é o valor tal que a série converge para . Aqui, temos:
Passo 6
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, vamos resolver a inequação:
|x-4| < 1
Isso significa que:
-1 < x - 4 < 1
Adicionando 4 em todas as partes:
3 < x < 5
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos e .