Suponha que temos um vaso com 10 bolinhas de gude -2 bolinhas vermelhas, 3 bolinhas verdes e 5 bolinhas azuis. Selecionamos 4 bolinhas aleatoriamente do vaso, com reposição. Qual é a probabilidade de selecionar 2 bolinhas verdes e 2 bolinhas azuis?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vaso com 10 bolinhas de gude: 2 vermelhas, 3 verdes e 5 azuis. A gente vai tirar 4 bolinhas do vaso, uma de cada vez, e sempre coloca de volta depois de tirar (isso é o que significa “com reposição”). A pergunta é: qual é a probabilidade de, nessas 4 retiradas, a gente pegar exatamente 2 bolinhas verdes e 2 bolinhas azuis?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição multinomial, que ajudam a calcular as chances de obter certas combinações de resultados em experimentos com várias tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades individuais de tirar cada cor em uma única retirada. Como estamos sempre colocando a bolinha de volta, as probabilidades não mudam a cada retirada.
  • Probabilidade de tirar uma bolinha verde:
  • Probabilidade de tirar uma bolinha azul:
  • Probabilidade de tirar uma bolinha vermelha:
Mas como queremos apenas 2 verdes e 2 azuis nas 4 retiradas, vamos focar nessas duas cores.

Passo 3

Agora, precisamos calcular de quantas maneiras podemos arranjar 2 verdes e 2 azuis em 4 retiradas. Isso é uma combinação: estamos escolhendo 2 posições para as verdes e 2 para as azuis.
A fórmula para combinações é:
Aplicando isso para as 2 verdes nas 4 retiradas:
Então, existem 6 maneiras diferentes de distribuir as 2 verdes e 2 azuis nas 4 retiradas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma dessas sequências específicas acontecer. Como cada retirada é independente, multiplicamos as probabilidades das cores escolhidas.
A probabilidade de tirar 2 verdes e 2 azuis em uma sequência específica é:

Passo 5

Finalmente, como existem 6 maneiras diferentes de arranjar essas retiradas, multiplicamos a probabilidade de uma sequência pela quantidade de sequências possíveis:

Resposta

A probabilidade de selecionar exatamente 2 bolinhas verdes e 2 bolinhas azuis em 4 retiradas com reposição é 0,135 ou 13,5%.

Exercícios relacionados

Enuncie e explique o que é a Lei dos Grandes Números.
a) Qual é a probabilidade de ocorrência de no máximo 1 geada nos próximos 5 anos? (Resposta: 0,7358)
Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da infecção de um determinado soro é 0,0001 . Determinar a probabilidade de, entre 2.000 indivíduos:
mais de dois sofrerem a reação. (Resposta: 0,0012 )
Considere uma variável aleatória X que tem distribuição exponencial. Descreva: A função densidade de probabilidade de X .