Suponha que o tempo de vida t de um componente eletrônico, fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:
f(t) = 0.02 * e^(-0.02 t)
Sendo,
t ≥ 0.
Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre 100 e 200 horas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um componente eletrônico cuja vida útil, representada por , é uma variável aleatória. A função de densidade de probabilidade dessa vida útil é dada por:
onde . Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de um componente desses durar entre 100 e 200 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função dada é uma função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, ou seja, quando os eventos ocorrem de forma contínua e independente a uma taxa constante.
A fórmula geral da função de densidade para a distribuição exponencial é:
onde é a taxa de ocorrência. No nosso caso, .

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de estar entre 100 e 200 horas, precisamos calcular a função de distribuição acumulada (FDA), que é a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor. A FDA da distribuição exponencial é dada por:
Então, a probabilidade de estar entre 100 e 200 horas é:

Passo 4

Vamos calcular e usando a FDA:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de e :
Então:

Passo 6

Finalmente, calculamos a diferença para encontrar a probabilidade desejada:

Resposta

A probabilidade de um componente ter um tempo de vida entre 100 e 200 horas é de aproximadamente 11,7%.

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