Suponha que o tempo de vida
de um componente eletrônico, fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:
Sendo,
.
Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre
e
horas.
Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um componente eletrônico cuja vida útil, representada por
, é uma variável aleatória. A função de densidade de probabilidade dessa vida útil é dada por:
onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de um componente desses durar entre 100 e 200 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente da distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função dada é uma função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, ou seja, quando os eventos ocorrem de forma contínua e independente a uma taxa constante.
A fórmula geral da função de densidade para a distribuição exponencial é:
onde
é a taxa de ocorrência. No nosso caso,
.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de
estar entre 100 e 200 horas, precisamos calcular a função de distribuição acumulada (FDA), que é a probabilidade de
ser menor ou igual a um certo valor. A FDA da distribuição exponencial é dada por:
Então, a probabilidade de
estar entre 100 e 200 horas é:
Passo 4
Vamos calcular
e
usando a FDA:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores de
e
:
Então:
Passo 6
Finalmente, calculamos a diferença para encontrar a probabilidade desejada:
Resposta
A probabilidade de um componente ter um tempo de vida entre 100 e 200 horas é de aproximadamente 11,7%.
Exercícios relacionados
Crescimento populacional: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de
pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.
Resolver a integral
Determine a integral indefinida a seguir: