Para cada item: - Decida se é lisa por partes. - Decida se é uma curva simples. - Decida se é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha . , onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva γ que é uma cardíode definida por e está orientada no sentido anti-horário. Precisamos: 1. Decidir se é lisa por partes. 2. Decidir se é uma curva simples. 3. Decidir se é uma curva fechada. 4. Calcular a integral de linha . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de curvas no plano, propriedades de curvas suaves e integrais de linha. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

**Decidir se é lisa por partes.** Uma curva é **lisa por partes** se pode ser dividida em segmentos em que cada segmento é uma curva lisa (ou seja, tem derivadas contínuas). A cardíode é uma curva suave sem pontas ou quebras, então ela é contínua e diferenciável em todo o seu percurso. Portanto, é lisa por partes.

Passo 3

**Decidir se é uma curva simples.** Uma curva é **simples** se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é percorrido apenas uma vez. A cardíode tem um ponto onde ela se cruza consigo mesma, especificamente quando e . Portanto, não é uma curva simples.

Passo 4

**Decidir se é uma curva fechada.** Uma curva é **fechada** se seu ponto inicial e final coincidem. A parametrização da cardíode para variando de a começa e termina no mesmo ponto no plano cartesiano. Portanto, é uma curva fechada.

Passo 5

**Calcular a integral de linha .** Para calcular essa integral, podemos usar o **Teorema de Green**, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva fechada. O Teorema de Green diz que: Onde e . Vamos calcular as derivadas parciais: Substituindo no Teorema de Green: Isso significa que a integral de linha é igual à área da região delimitada pela curva . A área de uma cardíode é dada por: Expandindo o termo: Integrando termo a termo: Sabemos que: Portanto: Assim, a integral de linha é .

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Para cada item: - Decida se é lisa por partes. - Decida se é uma curva simples. - Decida se é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha . , onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .
Para cada item: - Decida se é lisa por partes. - Decida se é uma curva simples. - Decida se é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha . , onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
Crescimento populacional: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?
Suponha que o tempo de vida de um componente eletrônico, fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por: Sendo, . Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre e horas.