Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    integralgamma 2 x y d x+(x^2+x) d y, onde gamma é a cardióide r=1+cos theta orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva γ que é uma cardíode definida por e está orientada no sentido anti-horário. Precisamos:
  1. Decidir se é lisa por partes.
  2. Decidir se é uma curva simples.
  3. Decidir se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de curvas no plano, propriedades de curvas suaves e integrais de linha. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Decidir se é lisa por partes.
Uma curva é lisa por partes se pode ser dividida em segmentos em que cada segmento é uma curva lisa (ou seja, tem derivadas contínuas). A cardíode é uma curva suave sem pontas ou quebras, então ela é contínua e diferenciável em todo o seu percurso. Portanto, é lisa por partes.

Passo 3

Decidir se é uma curva simples.
Uma curva é simples se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é percorrido apenas uma vez. A cardíode tem um ponto onde ela se cruza consigo mesma, especificamente quando e . Portanto, não é uma curva simples.

Passo 4

Decidir se é uma curva fechada.
Uma curva é fechada se seu ponto inicial e final coincidem. A parametrização da cardíode para variando de a começa e termina no mesmo ponto no plano cartesiano. Portanto, é uma curva fechada.

Passo 5

Calcular a integral de linha ointgamma P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA .
Para calcular essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva fechada.
O Teorema de Green diz que:
partial Qpartial x = 2x + 1
Onde partial Ppartial y = 2x e integral duplaD ( (2x + 1) - 2x ) dA = integral duplaD 1, dA . Vamos calcular as derivadas parciais:
A = 12 integral0^2pi (1 + cos theta)^2 dtheta
(1 + cos theta)^2 = 1 + 2cos theta + cos^2 theta
Substituindo no Teorema de Green:
A = 12 [ integral0^2pi 1, dtheta + 2 integral0^2pi cos theta, dtheta + integral0^2pi cos^2 theta, dtheta ]
Isso significa que a integral de linha é igual à área integral0^2pi cos theta, dtheta = 0 da região integral0^2pi cos^2 theta, dtheta = pi delimitada pela curva A = 12 [ 2pi + 0 + pi ] = 12 times 3pi = 3pi2 .
A área de uma cardíode é dada por:
Expandindo o termo:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, a integral de linha é .

Resposta

A integral de linha vale .

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