Para cada item:
- Decida se é lisa por partes.
- Decida se é uma curva simples.
- Decida se é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha .
, onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva γ que é uma cardíode definida por e está orientada no sentido anti-horário. Precisamos:
1. Decidir se é lisa por partes.
2. Decidir se é uma curva simples.
3. Decidir se é uma curva fechada.
4. Calcular a integral de linha .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de curvas no plano, propriedades de curvas suaves e integrais de linha. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
**Decidir se é lisa por partes.**
Uma curva é **lisa por partes** se pode ser dividida em segmentos em que cada segmento é uma curva lisa (ou seja, tem derivadas contínuas). A cardíode é uma curva suave sem pontas ou quebras, então ela é contínua e diferenciável em todo o seu percurso. Portanto, é lisa por partes.
Passo 3
**Decidir se é uma curva simples.**
Uma curva é **simples** se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é percorrido apenas uma vez. A cardíode tem um ponto onde ela se cruza consigo mesma, especificamente quando e . Portanto, não é uma curva simples.
Passo 4
**Decidir se é uma curva fechada.**
Uma curva é **fechada** se seu ponto inicial e final coincidem. A parametrização da cardíode para variando de a começa e termina no mesmo ponto no plano cartesiano. Portanto, é uma curva fechada.
Passo 5
**Calcular a integral de linha .**
Para calcular essa integral, podemos usar o **Teorema de Green**, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva fechada.
O Teorema de Green diz que:
Onde e . Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:
Isso significa que a integral de linha é igual à área da região delimitada pela curva .
A área de uma cardíode é dada por:
Expandindo o termo:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, a integral de linha é .
Resposta
A integral de linha vale .
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Para cada item:
- Decida se é lisa por partes.
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- Decida se é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha .
, onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .
Para cada item:
- Decida se é lisa por partes.
- Decida se é uma curva simples.
- Decida se é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha .
, onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
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.
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