Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes.
- Decida se
é uma curva simples.
- Decida se
é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha
.
, onde
é a cardióide
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva γ que é uma cardíode definida por
e está orientada no sentido anti-horário. Precisamos:
- Decidir se
é lisa por partes. - Decidir se
é uma curva simples. - Decidir se
é uma curva fechada. - Calcular a integral de linha
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de curvas no plano, propriedades de curvas suaves e integrais de linha. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Decidir se
é lisa por partes.
Uma curva é lisa por partes se pode ser dividida em segmentos em que cada segmento é uma curva lisa (ou seja, tem derivadas contínuas). A cardíode
é uma curva suave sem pontas ou quebras, então ela é contínua e diferenciável em todo o seu percurso. Portanto,
é lisa por partes.
Passo 3
Decidir se
é uma curva simples.
Uma curva é simples se não se auto-intersecta, ou seja, cada ponto na curva é percorrido apenas uma vez. A cardíode
tem um ponto onde ela se cruza consigo mesma, especificamente quando
e
. Portanto,
não é uma curva simples.
Passo 4
Decidir se
é uma curva fechada.
Uma curva é fechada se seu ponto inicial e final coincidem. A parametrização da cardíode para
variando de
a
começa e termina no mesmo ponto no plano cartesiano. Portanto,
é uma curva fechada.
Passo 5
Calcular a integral de linha
.
Para calcular essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva fechada.
O Teorema de Green diz que:
Onde
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:
Isso significa que a integral de linha é igual à área
da região
delimitada pela curva
.
A área de uma cardíode
é dada por:
Expandindo o termo:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, a integral de linha é
.
Resposta
A integral de linha vale
.