Crescimento populacional: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de crescimento populacional juntos! A questão fala sobre como a população de uma cidade vai mudar ao longo do tempo, usando uma taxa de variação dada por . A gente sabe que atualmente a cidade tem 5.000 pessoas e queremos descobrir qual será a população daqui a 9 meses. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que nos ajuda a acumular pequenas variações ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa expressão nos dá a taxa de variação da população em relação ao tempo . Para encontrar a população total após 9 meses, precisamos somar todas essas pequenas variações desde o mês 0 até o mês 9. Isso é feito através de uma integral definida.

Passo 3

A população futura pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui, é a população inicial, que é 5.000 pessoas, e a integral representa o aumento total da população nos 9 meses.

Passo 4

Vamos agora calcular a integral:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira parte:
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 6

Segunda parte:
Novamente, descartamos porque estamos lidando com uma integral definida.

Passo 7

Agora, juntando as duas partes da integral:
Isso significa que devemos avaliar a expressão nos limites de 0 a 9 e subtrair os resultados.

Passo 8

Vamos calcular nos limites:
Para :
Para :
Agora, subtraímos:

Passo 9

Finalmente, adicionamos esse resultado à população inicial:

Resposta

A população daqui a 9 meses será de 5.126 pessoas.

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Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
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Suponha que o tempo de vida de um componente eletrônico, fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:
Sendo,
.
Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre e horas.
Resolver a integral