Crescimento populacional: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de
pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de crescimento populacional juntos! A questão fala sobre como a população de uma cidade vai mudar ao longo do tempo, usando uma taxa de variação dada por
. A gente sabe que atualmente a cidade tem 5.000 pessoas e queremos descobrir qual será a população daqui a 9 meses. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que nos ajuda a acumular pequenas variações ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa expressão nos dá a taxa de variação da população em relação ao tempo
. Para encontrar a população total após 9 meses, precisamos somar todas essas pequenas variações desde o mês 0 até o mês 9. Isso é feito através de uma integral definida.
Passo 3
A população futura
pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui,
é a população inicial, que é 5.000 pessoas, e a integral
representa o aumento total da população nos 9 meses.
Passo 4
Vamos agora calcular a integral:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira parte:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 6
Segunda parte:
Novamente, descartamos
porque estamos lidando com uma integral definida.
Passo 7
Agora, juntando as duas partes da integral:
Isso significa que devemos avaliar a expressão
nos limites de 0 a 9 e subtrair os resultados.
Passo 8
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Para
:
Agora, subtraímos:
Passo 9
Finalmente, adicionamos esse resultado à população inicial:
Resposta
A população daqui a 9 meses será de 5.126 pessoas.
Exercícios relacionados
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .
Suponha que o tempo de vida
de um componente eletrônico, fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:
Sendo,
.
Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre e
horas.
Determine a probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre
Resolver a integral