Suponha que X tenha uma distribuição exponencial com lambda=2. Determine:
Encontre o valor de x tal que P(X <= x)=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro . O que queremos descobrir é qual valor de satisfaz a condição . Para resolver isso, vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da função de distribuição acumulada para uma distribuição exponencial. Ela é dada por:
P(X <= x) = 1 - e^-lambda x
Aqui, é o parâmetro da distribuição e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Queremos encontrar o valor de 1 - e^-2x = 0,05 que faz com que . Vamos substituir os valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos isolar o termo exponencial. Subtraímos 1 de ambos os lados:
-e^-2x = 0,05 - 1
-e^-2x = -0,95
Multiplicando ambos os lados por -1:
e^-2x = 0,95

Passo 5

Para resolver essa equação, precisamos eliminar o ln(e^-2x) = ln(0,95) . Fazemos isso aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
-2x = ln(0,95)
Lembrando que , temos:

Passo 6

Agora, resolvemos para x = -ln(0,95)2 :

Passo 7

Vamos calcular o valor numérico. Primeiro, encontramos ln(0,95) approx -0,051293 :
x = --0,0512932 = 0,0512932 approx 0,025646
Substituindo na equação:

Resposta

O valor de que satisfaz é aproximadamente 0,0256.

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