Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que existam
,
e que
, para todo
. Mostre que
é uma Sequência de Cauchy.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais, chamada
. A gente sabe que a diferença entre termos consecutivos dessa sequência, ou seja,
, é menor ou igual a
, onde
é um número positivo e
está entre 0 e 1. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência
é uma Sequência de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e como trabalhar com desigualdades envolvendo séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser de Cauchy. Basicamente, uma sequência
é de Cauchy se, para qualquer
, existe um número natural
tal que para todos os
, a distância entre
e
é menor que
. Em outras palavras, os termos da sequência ficam tão próximos uns dos outros quanto quisermos, à medida que avançamos na sequência.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação que temos:
para todo
. Isso nos dá uma forma de controlar a distância entre termos consecutivos da sequência. Para provar que
é de Cauchy, vamos considerar a distância entre dois termos quaisquer
e
onde
.
Passo 4
Vamos expressar
somando as diferenças entre termos consecutivos:
Pela desigualdade triangular, isso é menor ou igual à soma das distâncias individuais:
Passo 5
Usando a informação dada, substituímos cada termo:
Fatorando o
:
Passo 6
A soma dentro dos parênteses é uma soma geométrica. Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é:
Então, substituindo na nossa expressão:
Passo 7
Como
, o termo
tende a zero conforme
aumenta. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 8
Agora, queremos que
. Então, precisamos que:
Resolvendo para
, temos:
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Como
é negativo (porque
), multiplicamos ambos os lados por
e invertemos a desigualdade:
Passo 9
Definimos
como o menor inteiro que satisfaz a desigualdade acima. Assim, para todo
, teremos
. Isso demonstra que
é uma sequência de Cauchy.
Resposta
Portanto, mostramos que a sequência
satisfaz a condição de ser uma Sequência de Cauchy.
Exercícios relacionados
Utilize a fórmula de Simpson com
para estimar o comprimento do arco de curva com equação
,
até
.
Prove que
.
Seja
. Defina a sequência
, pondo
e
. Prove que
é convergente e calcule seu limite