Suponha que seja uma sequência de números reais. Assuma que existam , e que , para todo . Mostre que é uma Sequência de Cauchy.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais, chamada . A gente sabe que a diferença entre termos consecutivos dessa sequência, ou seja, , é menor ou igual a , onde é um número positivo e está entre 0 e 1. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência é uma Sequência de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e como trabalhar com desigualdades envolvendo séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser de Cauchy. Basicamente, uma sequência é de Cauchy se, para qualquer , existe um número natural tal que para todos os , a distância entre e é menor que . Em outras palavras, os termos da sequência ficam tão próximos uns dos outros quanto quisermos, à medida que avançamos na sequência.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação que temos: para todo . Isso nos dá uma forma de controlar a distância entre termos consecutivos da sequência. Para provar que é de Cauchy, vamos considerar a distância entre dois termos quaisquer e onde .

Passo 4

Vamos expressar somando as diferenças entre termos consecutivos:
Pela desigualdade triangular, isso é menor ou igual à soma das distâncias individuais:

Passo 5

Usando a informação dada, substituímos cada termo:
Fatorando o :

Passo 6

A soma dentro dos parênteses é uma soma geométrica. Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é:
Então, substituindo na nossa expressão:

Passo 7

Como , o termo tende a zero conforme aumenta. Portanto, podemos simplificar a expressão:

Passo 8

Agora, queremos que . Então, precisamos que:
Resolvendo para , temos:
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Como é negativo (porque ), multiplicamos ambos os lados por e invertemos a desigualdade:

Passo 9

Definimos como o menor inteiro que satisfaz a desigualdade acima. Assim, para todo , teremos . Isso demonstra que é uma sequência de Cauchy.

Resposta

Portanto, mostramos que a sequência satisfaz a condição de ser uma Sequência de Cauchy.

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Seja . Defina a sequência , pondo e . Prove que é convergente e calcule seu limite