Determine a equação da reta que tangencia a circunferência x^2+y^2=16 no ponto P(-2 raiz2, 2 raiz2).

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para encontrar a equação da reta que é tangente à circunferência no ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com circunferências e retas tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a reta tangente a uma circunferência em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a circunferência dada pela equação tem centro na origem e raio , já que .

Passo 3

A reta tangente a uma circunferência em um ponto específico é perpendicular ao raio que liga o centro da circunferência a esse ponto. Então, precisamos encontrar a inclinação do raio que vai de até .

Passo 4

A inclinação (coeficiente angular) do raio é dada por:
mraio = yP - yCxP - xC = 2raiz2 - 0-2raiz2 - 0 = 2raiz2-2raiz2 = -1

Passo 5

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, a inclinação da reta tangente mtan>=nte = -1mraio = -1-1 = 1 é o negativo do inverso da inclinação do raio. Portanto:

Passo 6

Agora que sabemos a inclinação da reta tangente, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - yP = mtan>=nte(x - xP)
Substituindo y - 2raiz2 = 1 cdot (x + 2raiz2) e :

Passo 7

Simplificando a equação:
y = x + 2raiz2 + 2raiz2 = x + 4raiz2

Resposta

A equação da reta tangente é .

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