Determine a equação da reta que tangencia a circunferência no ponto .

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para encontrar a equação da reta que é tangente à circunferência no ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com circunferências e retas tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a reta tangente a uma circunferência em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a circunferência dada pela equação tem centro na origem e raio , já que .

Passo 3

A reta tangente a uma circunferência em um ponto específico é perpendicular ao raio que liga o centro da circunferência a esse ponto. Então, precisamos encontrar a inclinação do raio que vai de até .

Passo 4

A inclinação (coeficiente angular) do raio é dada por:

Passo 5

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, a inclinação da reta tangente é o negativo do inverso da inclinação do raio. Portanto:

Passo 6

Agora que sabemos a inclinação da reta tangente, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo e :

Passo 7

Simplificando a equação:

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta .
(i) passa pelo ponto e é perpendicular à reta de equação .
Suponha que e sejam vetores tais que

Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iii) Se o plano de equação contém a origem, então .
Determine o valor de para que a parábola tenha foco no ponto . Esboce a parábola encontrada no sistema de coordenadas cartesianas.