Determine a equação da reta que tangencia a circunferência
no ponto
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para encontrar a equação da reta que é tangente à circunferência
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com circunferências e retas tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a reta tangente a uma circunferência em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a circunferência dada pela equação
tem centro na origem
e raio
, já que
.
Passo 3
A reta tangente a uma circunferência em um ponto específico é perpendicular ao raio que liga o centro da circunferência a esse ponto. Então, precisamos encontrar a inclinação do raio que vai de
até
.
Passo 4
A inclinação (coeficiente angular) do raio é dada por:
Passo 5
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, a inclinação da reta tangente
é o negativo do inverso da inclinação do raio. Portanto:
Passo 6
Agora que sabemos a inclinação da reta tangente, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo
e
:
Passo 7
Simplificando a equação:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta
.
(i) passa pelo ponto
e é perpendicular à reta de equação
.
(i)
Suponha que
e
sejam vetores tais que
Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iii) Se o plano de equação contém a origem, então
.
(iii) Se o plano de equação
Determine o valor de
para que a parábola
tenha foco no ponto
. Esboce a parábola encontrada no sistema de coordenadas cartesianas.