Em uma residência com temperatura ambiente interna de 25°C, o calor flui por meio de uma porta de vidro para o ambiente externo, que se encontra a uma temperatura de 5°C. Se o vidro tem um coeficiente convectivo de 30W/m²K, e a taxa de transferência de calor do ambiente interno para o ambiente externo é de 378,38W/m². Quais são as temperaturas interna e externa da porta de vidro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de Transferência de Calor, especificamente envolvendo condução e convecção através de uma porta de vidro. A situação é a seguinte: dentro de uma casa a 25°C, calor está passando pela porta de vidro para o lado de fora, que está a 5°C. Sabemos que o coeficiente convectivo do vidro é de 30 W/m²K e que a taxa de transferência de calor é de 378,38 W/m². Nosso objetivo é descobrir quais são as temperaturas na superfície interna e externa da porta de vidro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a transferência de calor ocorre em três etapas aqui:
  1. Convecção do ar interno para a superfície interna do vidro.
  2. Condução de calor através do vidro.
  3. Convecção da superfície externa do vidro para o ar externo.
Cada uma dessas etapas tem uma resistência térmica associada. A taxa de transferência de calor ($ q $) é a mesma em todas as etapas.

Passo 3

Vamos representar as resistências térmicas:
  • Resistência convectiva interna ($ R_{conv,in} $):
    Rconv,in
  • Resistência condutiva do vidro ($ R_{cond} $):
    Rconv,in = 1h A
  • Resistência convectiva externa ($ R_{conv,out} $):
    Rcond
Onde:
  • $ h = 30 , W/m^2K $ (coeficiente convectivo),
  • $ L $ é a espessura do vidro,
  • $ k $ é a condutividade térmica do vidro,
  • $ A $ é a área da porta de vidro.
Mas como não temos $ L $ e $ k Rcond = Lk A çãéááíê q = 378,38 , W/m^2 $).

Passo 4

Sabemos que a taxa de transferência de calor ($ q $) está relacionada às diferenças de temperatura e às resistências térmicas:
q íííí
Como queremos encontrar $ T_{superfície,interna} $ e $ T_{superfície,externa} $, vamos relacionar essas equações.

Passo 5

Considerando as resistências convectivas internas e externas iguais ($ R_{conv,in} = R_{conv,out} $), podemos simplificar a relação:
Rconv,in = Rconv,out íí
Substituindo os valores conhecidos:
Tar,interno - Tsuperfície,interna = Tsuperfície,externa - Tar,externo íí

Passo 6

Também sabemos que a diferença de temperatura através do vidro está relacionada à taxa de transferência de calor:
q = Tsuperfície,interna - Tsuperfície,externaRcond Rightarrow Tsuperfície,interna - Tsuperfície,externa = q cdot Rcond íííí
Mas como não temos $ R_{cond} $, vamos considerar que a transferência de calor é constante e usar a diferença de resistências.

Passo 7

Voltando à equação anterior:
25°C - Tsuperfície,interna = Tsuperfície,externa - 5°C íí
Vamos chamar $ T_{superfície,interna} = T_i $ e $ T_{superfície,externa} = T_e $. Então:
Tsuperfície,interna = Ti
Tsuperfície,externa = Te
25 - Ti = Te - 5

Passo 8

Além disso, sabemos que a taxa de transferência de calor é:
q = 378,38 , W/m^2 = h (Tar,interno - Ti) = h (Te - Tar,externo)
Substituindo os valores:
378,38 = 30 (25 - Ti) = 30 (Te - 5)

Passo 9

Resolvendo a primeira parte:
378,38 = 30 (25 - Ti)
378,3830 = 25 - Ti
12,6127 = 25 - Ti
Ti = 25 - 12,6127 = 12,3873°C

Passo 10

Usando a equação (1):
12,3873 + Te = 30
Te = 30 - 12,3873 = 17,6127°C

Resposta

As temperaturas na superfície interna e externa da porta de vidro são aproximadamente 12,39°C e 17,61°C, respectivamente.

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