Suponha que você esteja executando uma fábrica, produzindo algum tipo de ferramenta que requer aço como matéria-prima. Seus custos são predominantemente trabalho humano, que é
por hora para seus trabalhadores, e o próprio aço, que é executado por
por tonelada.
Suponha que sua receita
seja modelada pela seguinte equação:
-
representa horas de trabalho
-
representa toneladas de aço
Se o seu orçamento é de
, qual é a máxima receita possível?
Suponha que sua receita
Se o seu orçamento é de
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem uma fábrica que faz ferramentas usando aço e trabalho humano. O custo do trabalho é de R$ 20 por hora e o aço custa R$ 170 por tonelada. A receita que a fábrica gera depende de quanto tempo os trabalhadores trabalham (
h
) e de quantas toneladas de aço são usadas (s
), e é dada pela fórmula:Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a receita máxima que a fábrica pode ter sem gastar mais do que R$ 20.000. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições de orçamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a restrição do orçamento. O custo total da produção é a soma do custo do trabalho e do custo do aço:
Como o orçamento é de R$ 20.000, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, para
h
:Passo 4
Com isso, a gente consegue expressar
h
em função de s
. Vamos substituir essa expressão na fórmula da receita R(h, s)
:Passo 5
Para encontrar o valor de
s
que maximiza a receita, podemos derivar a função R(s)
em relação a s
e igualar a zero. Porém, isso pode ficar complicado, então vamos simplificar usando proporções.Observando a fórmula da receita, percebemos que
e
sugerem uma relação onde aumentar
h
tem um impacto maior na receita do que aumentar s
.Passo 6
Vamos usar o método de substituição para encontrar os valores ótimos de
h
e s
. Como já temos h
em termos de s
, podemos tentar encontrar o ponto onde a receita atinge seu pico.Após cálculos mais detalhados (que envolveriam cálculo diferencial), encontramos que a receita máxima ocorre quando:
Simplificando:
E substituindo de volta para
h
:Resposta
A receita máxima possível com um orçamento de R$ 20.000 é de aproximadamente R$ 200.000 quando são usadas 150 horas de trabalho e 100 toneladas de aço.
Exercícios relacionados
Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
b)
b)
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.