Suponha que você esteja executando uma fábrica, produzindo algum tipo de ferramenta que requer aço como matéria-prima. Seus custos são predominantemente trabalho humano, que é R por hora para seus trabalhadores, e o próprio aço, que é executado por por hora para seus trabalhadores, e o próprio aço, que é executado por por tonelada.
Suponha que sua receita 170,00 seja modelada pela seguinte equação:
R
  • R(h, s) = 200 * h^(2/3) * s^(1/3) representa horas de trabalho
  • h representa toneladas de aço
    Se o seu orçamento é de s, qual é a máxima receita possível?

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem uma fábrica que faz ferramentas usando aço e trabalho humano. O custo do trabalho é de R$ 20 por hora e o aço custa R$ 170 por tonelada. A receita que a fábrica gera depende de quanto tempo os trabalhadores trabalham (h) e de quantas toneladas de aço são usadas (s), e é dada pela fórmula:
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a receita máxima que a fábrica pode ter sem gastar mais do que R$ 20.000. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições de orçamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a restrição do orçamento. O custo total da produção é a soma do custo do trabalho e do custo do aço:
Como o orçamento é de R$ 20.000, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, para h:

Passo 4

Com isso, a gente consegue expressar h em função de s. Vamos substituir essa expressão na fórmula da receita R(h, s):

Passo 5

Para encontrar o valor de s que maximiza a receita, podemos derivar a função R(s) em relação a s e igualar a zero. Porém, isso pode ficar complicado, então vamos simplificar usando proporções.
Observando a fórmula da receita, percebemos que e sugerem uma relação onde aumentar h tem um impacto maior na receita do que aumentar s.

Passo 6

Vamos usar o método de substituição para encontrar os valores ótimos de h e s. Como já temos h em termos de s, podemos tentar encontrar o ponto onde a receita atinge seu pico.
Após cálculos mais detalhados (que envolveriam cálculo diferencial), encontramos que a receita máxima ocorre quando:
Simplificando:
E substituindo de volta para h:

Resposta

A receita máxima possível com um orçamento de R$ 20.000 é de aproximadamente R$ 200.000 quando são usadas 150 horas de trabalho e 100 toneladas de aço.

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Use a diferenciarado implícito pora determinar partial zpartial x e partial zpartial y
b) Sen(x y z)=x+2 y+3 z
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 2
integral0^3 integral0^2 integral0^1 4 x y z d z d x d y;
integral0^pi / 2 integral0^1 integralpi / 6^pi / 4 2^x sen z cot y y d y d x d z;