Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para usarmos diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais
e
da equação
. Isso está relacionado ao cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar a diferenciação implícita quando temos uma equação envolvendo várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é diferenciação implícita. Geralmente, diferenciamos fórmulas onde uma variável depende de outra explicitamente, como
. Mas às vezes, a relação entre as variáveis não está resolvida para uma delas. Nesse caso, usamos diferenciação implícita para encontrar as derivadas sem isolar a variável.
Passo 3
Vamos começar a diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
e
. Lembre-se de que, quando diferenciamos
em relação a
, obtemos
.
Diferenciando
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar
em relação a
usando a regra do produto:
Aqui, derivamos
mantendo
constantes e, ao derivar
, multiplicamos por
.
Passo 5
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação
em relação a
:
Aqui, a derivada de
é 1, de
em relação a
é 0 (já que
é tratado como constante), e de
é
.
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 7
Vamos distribuir o
no parêntese:
Agora, vamos reunir os termos que têm
de um lado:
Passo 8
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Agora, repetimos o mesmo processo para encontrar
. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Diferenciando
em relação a
:
Passo 10
Diferenciando
em relação a
:
Passo 11
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Agora, diferenciando o lado direito
em relação a
:
Passo 12
Igualamos as derivadas dos dois lados:
Vamos resolver para
.
Passo 13
Distribuindo o
:
Reunimos os termos com
:
Passo 14
Fatoramos
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
As derivadas parciais são:
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-
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