Use a diferenciarado implícito pora determinar partial zpartial x e partial zpartial y
b) Sen(x y z)=x+2 y+3 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para usarmos diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y da equação Sen(x y z) = x + 2 y + 3 z. Isso está relacionado ao cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar a diferenciação implícita quando temos uma equação envolvendo várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é diferenciação implícita. Geralmente, diferenciamos fórmulas onde uma variável depende de outra explicitamente, como z = f(x, y). Mas às vezes, a relação entre as variáveis não está resolvida para uma delas. Nesse caso, usamos diferenciação implícita para encontrar as derivadas sem isolar a variável.

Passo 3

Vamos começar a diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando z como uma função de x e y. Lembre-se de que, quando diferenciamos z em relação a x, obtemos partial zpartial x.
Diferenciando Sen(x y z) em relação a x:
ddx[Sen(x y z)] = cos(x y z) cdot ddx(x y z)

Passo 4

Agora, vamos diferenciar x y z em relação a x usando a regra do produto:
ddx(x y z) = y z + x y partial zpartial x
Aqui, derivamos x mantendo y z constantes e, ao derivar z, multiplicamos por partial zpartial x.

Passo 5

Então, a derivada do lado esquerdo fica:
cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x)
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação x + 2 y + 3 z em relação a x:
ddx(x + 2 y + 3 z) = 1 + 0 + 3 partial zpartial x
Aqui, a derivada de x é 1, de 2y em relação a x é 0 (já que y é tratado como constante), e de 3z é 3 partial zpartial x.

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x) = 1 + 3 partial zpartial x
Nosso objetivo é resolver essa equação para partial zpartial x.

Passo 7

Vamos distribuir o cos(x y z) no parêntese:
cos(x y z) cdot y z + cos(x y z) cdot x y partial zpartial x = 1 + 3 partial zpartial x
Agora, vamos reunir os termos que têm partial zpartial x de um lado:
cos(x y z) cdot x y partial zpartial x - 3 partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y z

Passo 8

Fatorando partial zpartial x:
partial zpartial x cdot (cos(x y z) cdot x y - 3) = 1 - cos(x y z) cdot y z
Agora, isolamos partial zpartial x:
partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y zcos(x y z) cdot x y - 3

Passo 9

Agora, repetimos o mesmo processo para encontrar partial zpartial y. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a y.
Diferenciando Sen(x y z) em relação a y:
ddy[Sen(x y z)] = cos(x y z) cdot ddy(x y z)

Passo 10

Diferenciando x y z em relação a y:
ddy(x y z) = x z + x y partial zpartial y

Passo 11

Então, a derivada do lado esquerdo fica:
cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y)
Agora, diferenciando o lado direito x + 2 y + 3 z em relação a y:
ddy(x + 2 y + 3 z) = 0 + 2 + 3 partial zpartial y

Passo 12

Igualamos as derivadas dos dois lados:
cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y) = 2 + 3 partial zpartial y
Vamos resolver para partial zpartial y.

Passo 13

Distribuindo o cos(x y z):
cos(x y z) cdot x z + cos(x y z) cdot x y partial zpartial y = 2 + 3 partial zpartial y
Reunimos os termos com partial zpartial y:
cos(x y z) cdot x y partial zpartial y - 3 partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x z

Passo 14

Fatoramos partial zpartial y:
partial zpartial y cdot (cos(x y z) cdot x y - 3) = 2 - cos(x y z) cdot x z
Finalmente, isolamos partial zpartial y:
partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x zcos(x y z) cdot x y - 3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y zcos(x y z) cdot x y - 3
partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x zcos(x y z) cdot x y - 3

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integral0^3 integral0^2 integral0^1 4 x y z d z d x d y;