Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá soluções
ou
.
Então, os pontos críticos são:
- Para
: → Ponto - Para
: → Ponto - Para
: → Ponto
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano (
) é dado por:
Vamos avaliar
e
em cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como
, o ponto é um ponto de sela. -
Ponto (1, 1):Como
e , o ponto é um mínimo local. -
Ponto (-1, -1):Assim, este ponto também é um mínimo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de sela em
- Mínimos locais nos pontos
e
Exercícios relacionados
Uma caixa com formato de paralelepípedo retângulo sem tampa será confeccionada em alumínio e deve ter volume de
. Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de alumínio usado na confecção da caixa?
Suponha que a produção de uma empresa, dependente de dois insumos
e
, cujas quantidades são, respectivamente,
e
, seja modelada pela equação
A.
e que os seus custos sejam dados por
, onde
e
são constantes.
Considerando que a produção seja fixa, isto é, , em que
é uma constante, calcule os valores de
e de
que minimizam os custos da empresa.
Considerando que a produção seja fixa, isto é,
Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
b)
b)
Suponha que você esteja executando uma fábrica, produzindo algum tipo de ferramenta que requer aço como matéria-prima. Seus custos são predominantemente trabalho humano, que é
por hora para seus trabalhadores, e o próprio aço, que é executado por
por tonelada.
Suponha que sua receita seja modelada pela seguinte equação:
Suponha que sua receita
-
representa horas de trabalho -
representa toneladas de aço
Se o seu orçamento é de, qual é a máxima receita possível?