Suppose the Lagrangian density in Hamilton
Assuming the vanishing of the variation at the end points, what is the form of the field equations corresponding to such a Lagrangian density?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma densidade lagrangiana no contexto de Hamilton, que é dada por:
Aqui,
depende do campo
, suas primeiras derivadas
e suas segundas derivadas
, além das coordenadas
. A questão quer saber qual é a forma das equações de campo correspondentes a essa densidade lagrangiana, assumindo que a variação nas extremidades (pontos finais) é nula.
Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio de ação estacionária (ou princípio de mínimos), que nos leva às equações de Euler-Lagrange para campos. Vamos ver como aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa variação da ação. A ação
é a integral da densidade lagrangiana sobre o espaço-tempo:
O princípio de ação estacionária diz que a variação da ação
deve ser zero para o caminho (ou campo) que a natureza realmente segue. Ou seja:
Isso nos leva às equações de movimento ou, no contexto de campos, às equações de campo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação da ação
. Como
depende de
,
e
, usamos a regra de variação para funções que dependem de derivadas de até segunda ordem:
Passo 4
Simplificamos a expressão usando integrais por partes para eliminar as derivadas das variações
e
. Isso gera termos de borda que, pela hipótese do problema, desaparecem (variação nula nas extremidades). Assim, ficamos com:
Passo 5
Como a variação
é arbitrária, o que está dentro do parêntese deve ser igual a zero para que a integral seja nula para qualquer variação. Portanto, obtemos as equações de campo:
Resposta
As equações de campo correspondentes à densidade lagrangiana dada são: