Suppose the Lagrangian density in Hamilton
Assuming the vanishing of the variation at the end points, what is the form of the field equations corresponding to such a Lagrangian density?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma densidade lagrangiana no contexto de Hamilton, que é dada por:
Aqui,
depende do campo
, suas primeiras derivadas
e suas segundas derivadas
, além das coordenadas
. A questão quer saber qual é a forma das equações de campo correspondentes a essa densidade lagrangiana, assumindo que a variação nas extremidades (pontos finais) é nula.
Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio de ação estacionária (ou princípio de mínimos), que nos leva às equações de Euler-Lagrange para campos. Vamos ver como aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa variação da ação. A ação
é a integral da densidade lagrangiana sobre o espaço-tempo:
O princípio de ação estacionária diz que a variação da ação
deve ser zero para o caminho (ou campo) que a natureza realmente segue. Ou seja:
Isso nos leva às equações de movimento ou, no contexto de campos, às equações de campo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação da ação
. Como
depende de
,
e
, usamos a regra de variação para funções que dependem de derivadas de até segunda ordem:
Passo 4
Simplificamos a expressão usando integrais por partes para eliminar as derivadas das variações
e
. Isso gera termos de borda que, pela hipótese do problema, desaparecem (variação nula nas extremidades). Assim, ficamos com:
Passo 5
Como a variação
é arbitrária, o que está dentro do parêntese deve ser igual a zero para que a integral seja nula para qualquer variação. Portanto, obtemos as equações de campo:
Resposta
As equações de campo correspondentes à densidade lagrangiana dada são:
Exercícios relacionados
Uma chapa é reduzida de 3 mm de espessura para 2 mm de espessura por tração uniforme a frio
; outra chapa, idêntica à inicial, sofre a mesma redução, mas agora por laminação
. Qual foi a deformação efetiva, em cada um dos casos, após o processamento?
Uma bobina de cobre cuja equação de fluxo é dada por
foi submetida a um único passe de laminação a frio. Neste passe, sua espessura foi reduzida de
para
e não houve alteração significativa de sua largura. Neste procedimento, o atrito na interface cilindro/bobina foi reduzido ao máximo de modo que tensão principal no sentido de laminação (
) é igual a
da tensão aplicada no sentido da espessura (
). Determine as deformações principais (
) e a deformação efetiva média (
) na bobina após este passe de laminação.
Show that if
and
are taken as two independent field variables, the Lagrangian density
leads to the Schrödinger equation
and its complex conjugate. What are the canonical momenta? Obtain the Hamiltonian density corresponding to
.
Consider a scalar field quantity
that, for simplicity, is a function only of
and
. Suppose now that the Hamiltonian density is a function of higher spatial derivatives of
and
, that is,
What are the corresponding Hamilton equations of motion?