Suppose the Lagrangian density in Hamilton
L=L(etarho ; etarho, mu ; etarho, mu nu ; x^lambda)
Assuming the vanishing of the variation at the end points, what is the form of the field equations corresponding to such a Lagrangian density?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma densidade lagrangiana no contexto de Hamilton, que é dada por:
L = L(etarho; etarho, mu; etarho, mu nu; x^lambda)
Aqui, L depende do campo etarho, suas primeiras derivadas etarho, mu e suas segundas derivadas etarho, mu nu, além das coordenadas x^lambda. A questão quer saber qual é a forma das equações de campo correspondentes a essa densidade lagrangiana, assumindo que a variação nas extremidades (pontos finais) é nula.
Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio de ação estacionária (ou princípio de mínimos), que nos leva às equações de Euler-Lagrange para campos. Vamos ver como aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa variação da ação. A ação S é a integral da densidade lagrangiana sobre o espaço-tempo:
S = integral L , d^4x
O princípio de ação estacionária diz que a variação da ação de deve ser zero para o caminho (ou campo) que a natureza realmente segue. Ou seja:
de
Isso nos leva às equações de movimento ou, no contexto de campos, às equações de campo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação da ação de. Como L depende de etarho, etarho, mu e etarho, mu nu, usamos a regra de variação para funções que dependem de derivadas de até segunda ordem:
de

Passo 4

Simplificamos a expressão usando integrais por partes para eliminar as derivadas das variações de e de. Isso gera termos de borda que, pela hipótese do problema, desaparecem (variação nula nas extremidades). Assim, ficamos com:
de

Passo 5

Como a variação de é arbitrária, o que está dentro do parêntese deve ser igual a zero para que a integral seja nula para qualquer variação. Portanto, obtemos as equações de campo:
partial Lpartial etarho - partialmu ( partial Lpartial etarho, mu ) + partialmu partialnu ( partial Lpartial etarho, mu nu ) = 0

Resposta

As equações de campo correspondentes à densidade lagrangiana dada são:
partial Lpartial etarho - partialmu ( partial Lpartial etarho, mu ) + partialmu partialnu ( partial Lpartial etarho, mu nu ) = 0

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