Show that if
and
are taken as two independent field variables, the Lagrangian density
leads to the Schrödinger equation
and its complex conjugate. What are the canonical momenta? Obtain the Hamiltonian density corresponding to
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma densidade lagrangiana, que é uma função importante na física para descrever sistemas. Neste caso, a densidade lagrangiana é dada por:
O exercício quer que a gente mostre que essa expressão leva à equação de Schrödinger e sua conjugada complexa. Além disso, precisamos encontrar os momentos canônicos e obter a densidade hamiltoniana correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de variações, derivadas funcionais e transformar a lagrangiana em hamiltoniana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para obter as equações de movimento a partir da densidade lagrangiana, usamos as equações de Euler-Lagrange para campos. Essas equações são:
E similarmente para
. Aqui,
representa derivadas espaciais e temporais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação à derivada temporal de
, ou seja,
:
Isso nos leva a:
Passo 5
Para as derivadas espaciais, temos:
E, portanto:
Passo 6
Aplicando a equação de Euler-Lagrange para
:
Substituindo os termos que calculamos:
Simplificando:
Passo 7
Rearranjando os termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Vamos reorganizar para isolar o termo com a derivada temporal:
Mas parece que houve um erro nos sinais. Revisando os passos anteriores, notamos que o termo de tempo deve ficar do outro lado. Ajustando, chegamos à equação de Schrödinger desejada:
Passo 9
Analogamente, ao aplicar a equação de Euler-Lagrange para
, obteríamos a conjugada complexa da equação de Schrödinger:
Passo 10
Agora, para encontrar os momentos canônicos, usamos a definição:
Calculando:
Passo 11
Finalmente, para obter a densidade hamiltoniana
, usamos a relação:
Substituindo os valores dos momentos canônicos e a expressão de
:
Simplificando os termos:
Observamos que os termos com
e
se cancelam:
Resposta
As densidades de momento canônico são:
E a densidade hamiltoniana correspondente à lagrangiana
é:
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Suppose the Lagrangian density in Hamilton
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and
. Suppose now that the Hamiltonian density is a function of higher spatial derivatives of
and
, that is,
What are the corresponding Hamilton equations of motion?
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space:
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