Consider a scalar field quantity that, for simplicity, is a function only of and . Suppose now that the Hamiltonian density is a function of higher spatial derivatives of and , that is,
What are the corresponding Hamilton equations of motion?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo escalar que depende de e . Estamos lidando com a Hamiltoniana densidade , que não depende só de e seu derivado em , mas também de (o momento canônico) e suas derivadas em até a segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar as Equações de Hamilton que descrevem a evolução desse sistema no tempo. Para isso, vamos precisar lembrar como as Equações de Hamilton são formuladas para sistemas com dependências mais complexas, como derivadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Equações de Hamilton. Para sistemas com campos, elas são generalizações das equações clássicas e envolvem derivadas funcionais da Hamiltoniana. As equações básicas são:
e
Aqui, e são as derivadas funcionais da Hamiltoniana em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Agora, como a Hamiltoniana depende de , , , e , precisamos calcular as derivadas funcionais considerando todas essas dependências. Isso envolve aplicar a regra de derivação para funções que dependem de derivadas espaciais.
Para a primeira equação de Hamilton:
E para a segunda equação:

Passo 4

Vamos detalhar como chegamos a essas expressões. Quando a Hamiltoniana depende de derivadas espaciais, usamos a derivada funcional que leva em conta todas as contribuições das derivadas.
Para :
  • Primeiro, derivamos em relação a diretamente.
  • Depois, subtraímos a derivada em relação a da derivada de em relação a .
  • Finalmente, adicionamos a segunda derivada em relação a da derivada de em relação a .
Para :
  • Derivamos em relação a diretamente.
  • Adicionamos a derivada em relação a da derivada de em relação a .

Passo 5

Com essas expressões, temos as Equações de Hamilton completas para o nosso sistema. Elas descrevem como o campo e o momento evoluem no tempo, levando em conta suas dependências espaciais até a segunda ordem.

Resposta

As Equações de Hamilton correspondentes são:
e

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leads to the Schrödinger equation
and its complex conjugate. What are the canonical momenta? Obtain the Hamiltonian density corresponding to .
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where the subscripts indicate derivatives with respect to the variables indicated, provided is a potential function for the quantity of Eq. (13.117):