Consider a scalar field quantity
that, for simplicity, is a function only of
and
. Suppose now that the Hamiltonian density is a function of higher spatial derivatives of
and
, that is,
What are the corresponding Hamilton equations of motion?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo escalar
que depende de
e
. Estamos lidando com a Hamiltoniana densidade
, que não depende só de
e seu derivado em
, mas também de
(o momento canônico) e suas derivadas em
até a segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar as Equações de Hamilton que descrevem a evolução desse sistema no tempo. Para isso, vamos precisar lembrar como as Equações de Hamilton são formuladas para sistemas com dependências mais complexas, como derivadas espaciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as Equações de Hamilton. Para sistemas com campos, elas são generalizações das equações clássicas e envolvem derivadas funcionais da Hamiltoniana. As equações básicas são:
e
Aqui,
e
são as derivadas funcionais da Hamiltoniana em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, como a Hamiltoniana
depende de
,
,
,
e
, precisamos calcular as derivadas funcionais considerando todas essas dependências. Isso envolve aplicar a regra de derivação para funções que dependem de derivadas espaciais.
Para a primeira equação de Hamilton:
E para a segunda equação:
Passo 4
Vamos detalhar como chegamos a essas expressões. Quando a Hamiltoniana depende de derivadas espaciais, usamos a derivada funcional que leva em conta todas as contribuições das derivadas.
Para
:
- Primeiro, derivamos
em relação a diretamente. - Depois, subtraímos a derivada em relação a
da derivada de em relação a . - Finalmente, adicionamos a segunda derivada em relação a
da derivada de em relação a .
Para
:
- Derivamos
em relação a diretamente. - Adicionamos a derivada em relação a
da derivada de em relação a .
Passo 5
Com essas expressões, temos as Equações de Hamilton completas para o nosso sistema. Elas descrevem como o campo
e o momento
evoluem no tempo, levando em conta suas dependências espaciais até a segunda ordem.
Resposta
As Equações de Hamilton correspondentes são:
e