Consider a scalar field quantity eta that, for simplicity, is a function only of x and t. Suppose now that the Hamiltonian density is a function of higher spatial derivatives of eta and pi, that is,
H=H(eta, eta, x, pi, pi, x, pi, x x)
What are the corresponding Hamilton equations of motion?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo escalar eta que depende de x e t. Estamos lidando com a Hamiltoniana densidade H, que não depende só de eta e seu derivado em x, mas também de pi (o momento canônico) e suas derivadas em x até a segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar as Equações de Hamilton que descrevem a evolução desse sistema no tempo. Para isso, vamos precisar lembrar como as Equações de Hamilton são formuladas para sistemas com dependências mais complexas, como derivadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Equações de Hamilton. Para sistemas com campos, elas são generalizações das equações clássicas e envolvem derivadas funcionais da Hamiltoniana. As equações básicas são:
partial etapartial t = de
e
partial pipartial t = -de
Aqui, de e de são as derivadas funcionais da Hamiltoniana em relação a pi e eta, respectivamente.

Passo 3

Agora, como a Hamiltoniana H depende de eta, eta,x, pi, pi,x e pi,xx, precisamos calcular as derivadas funcionais considerando todas essas dependências. Isso envolve aplicar a regra de derivação para funções que dependem de derivadas espaciais.
Para a primeira equação de Hamilton:
partial etapartial t = partial Hpartial pi - ddx(partial Hpartial pi,x) + d^2dx^2(partial Hpartial pi,xx)
E para a segunda equação:
partial pipartial t = -partial Hpartial eta + ddx(partial Hpartial eta,x)

Passo 4

Vamos detalhar como chegamos a essas expressões. Quando a Hamiltoniana depende de derivadas espaciais, usamos a derivada funcional que leva em conta todas as contribuições das derivadas.
Para de:
  • Primeiro, derivamos H em relação a pi diretamente.
  • Depois, subtraímos a derivada em relação a x da derivada de H em relação a pi,x.
  • Finalmente, adicionamos a segunda derivada em relação a x da derivada de H em relação a pi,xx.
Para de:
  • Derivamos H em relação a eta diretamente.
  • Adicionamos a derivada em relação a x da derivada de H em relação a eta,x.

Passo 5

Com essas expressões, temos as Equações de Hamilton completas para o nosso sistema. Elas descrevem como o campo eta e o momento pi evoluem no tempo, levando em conta suas dependências espaciais até a segunda ordem.

Resposta

As Equações de Hamilton correspondentes são:
partial etapartial t = partial Hpartial pi - ddx(partial Hpartial pi,x) + d^2dx^2(partial Hpartial pi,xx)
e
partial pipartial t = -partial Hpartial eta + ddx(partial Hpartial eta,x)

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