Consider a scalar field quantity
that, for simplicity, is a function only of
and
. Suppose now that the Hamiltonian density is a function of higher spatial derivatives of
and
, that is,
What are the corresponding Hamilton equations of motion?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo escalar
que depende de
e
. Estamos lidando com a Hamiltoniana densidade
, que não depende só de
e seu derivado em
, mas também de
(o momento canônico) e suas derivadas em
até a segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar as Equações de Hamilton que descrevem a evolução desse sistema no tempo. Para isso, vamos precisar lembrar como as Equações de Hamilton são formuladas para sistemas com dependências mais complexas, como derivadas espaciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as Equações de Hamilton. Para sistemas com campos, elas são generalizações das equações clássicas e envolvem derivadas funcionais da Hamiltoniana. As equações básicas são:
e
Aqui,
e
são as derivadas funcionais da Hamiltoniana em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, como a Hamiltoniana
depende de
,
,
,
e
, precisamos calcular as derivadas funcionais considerando todas essas dependências. Isso envolve aplicar a regra de derivação para funções que dependem de derivadas espaciais.
Para a primeira equação de Hamilton:
E para a segunda equação:
Passo 4
Vamos detalhar como chegamos a essas expressões. Quando a Hamiltoniana depende de derivadas espaciais, usamos a derivada funcional que leva em conta todas as contribuições das derivadas.
Para
:
- Primeiro, derivamos
em relação a diretamente. - Depois, subtraímos a derivada em relação a
da derivada de em relação a . - Finalmente, adicionamos a segunda derivada em relação a
da derivada de em relação a .
Para
:
- Derivamos
em relação a diretamente. - Adicionamos a derivada em relação a
da derivada de em relação a .
Passo 5
Com essas expressões, temos as Equações de Hamilton completas para o nosso sistema. Elas descrevem como o campo
e o momento
evoluem no tempo, levando em conta suas dependências espaciais até a segunda ordem.
Resposta
As Equações de Hamilton correspondentes são:
e
Exercícios relacionados
Show that if
and
are taken as two independent field variables, the Lagrangian density
leads to the Schrödinger equation
and its complex conjugate. What are the canonical momenta? Obtain the Hamiltonian density corresponding to
.
Suppose the Lagrangian density in Hamilton
Assuming the vanishing of the variation at the end points, what is the form of the field equations corresponding to such a Lagrangian density?
Consider a Hamiltonian density in
space:
Show that the Hamilton equations of motion correspond to a form of the KortewegdeVries equation, Eq. (13.117), if
Show that the Korteweg-deVries equation corresponds to the field equation for a scalar field
with Lagrangian density
where the subscripts indicate derivatives with respect to the variables indicated, provided
is a potential function for the quantity
of Eq. (13.117):