O ponto é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são e . Determinar o valor de para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o enunciado da questão. Temos um paralelepípedo cujo vértice é conhecido, assim como os três vértices adjacentes a ele: , e . Nosso objetivo é encontrar o valor de de forma que o volume desse paralelepípedo seja igual a 20 unidades de volume (u.v.).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço e álgebra vetorial, especificamente o produto misto (ou produto escalar triplo) que nos permite calcular o volume de um paralelepípedo definido por três vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar os vetores que definem o paralelepípedo a partir do vértice . Esses vetores são obtidos subtraindo as coordenadas de das coordenadas dos vértices adjacentes , e .
Calculando os vetores:
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do paralelepípedo, usamos o produto misto dos vetores , e . O volume é dado pela fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial entre e , e é o produto escalar com o vetor resultante.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Portanto, o produto vetorial é:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 6
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar. Assim:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo cada uma:
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Resposta
Os valores de que tornam o volume do paralelepípedo igual a 20 unidades de volume são e .