O ponto A(1,-2,3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1, m, 1). Determinar o valor de m para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o enunciado da questão. Temos um paralelepípedo cujo vértice é conhecido, assim como os três vértices adjacentes a ele: , e . Nosso objetivo é encontrar o valor de de forma que o volume desse paralelepípedo seja igual a 20 unidades de volume (u.v.).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço e álgebra vetorial, especificamente o produto misto (ou produto escalar triplo) que nos permite calcular o volume de um paralelepípedo definido por três vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar os vetores que definem o paralelepípedo a partir do vértice AB = B - A = (2-1, -1 - (-2), -4 - 3) = (1, 1, -7) . Esses vetores são obtidos subtraindo as coordenadas de AC = C - A = (0-1, 2 - (-2), 0 - 3) = (-1, 4, -3) das coordenadas dos vértices adjacentes AD = D - A = (-1 -1, m - (-2), 1 - 3) = (-2, m + 2, -2) , e .
Calculando os vetores:

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do paralelepípedo, usamos o produto misto dos vetores V = | AB cdot (AC times AD) | , e . O volume é dado pela fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial entre e , e é o produto escalar com o vetor resultante.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial AC times AD = i & j & k -1 & 4 & -3 -2 & m + 2 & -2 :
= i cdot (4 cdot (-2) - (-3) cdot (m + 2)) - j cdot (-1 cdot (-2) - (-3) cdot (-2)) + k cdot (-1 cdot (m + 2) - 4 cdot (-2))
Expandindo o determinante:
= i cdot (-8 + 3m + 6) - j cdot (2 - 6) + k cdot (-m - 2 + 8)
Simplificando:
= i cdot (3m - 2) + j cdot 4 + k cdot (6 - m)
AC times AD = (3m - 2, 4, 6 - m)
Portanto, o produto vetorial é:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar AB cdot (AC times AD) = (1, 1, -7) cdot (3m - 2, 4, 6 - m) :
= 1 cdot (3m - 2) + 1 cdot 4 + (-7) cdot (6 - m)
= 3m - 2 + 4 - 42 + 7m
= 10m - 40

Passo 6

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar. Assim:
|10m - 40| = 20
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 10m - 40 = 20
  2. 10m = 60
Resolvendo cada uma:
Primeira Equação:
m = 6
10m - 40 = -20
10m = 20
Segunda Equação:
m = 2

Resposta

Os valores de que tornam o volume do paralelepípedo igual a 20 unidades de volume são e .

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