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diferenciando implicitamente
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação:
. O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando
está misturado com
na equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então sempre que derivarmos algo que envolve
, precisamos multiplicar pela
. Vamos lá:
A equação é:
Derivando cada termo:
-
Derivada de
: - Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é . - Aqui,
e . - Derivando:
- Então:
- Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
-
Derivada de
: - Usamos a regra da cadeia.
- A derivada de
é . - Aqui,
. - Então:
-
Derivada de
: - Novamente, usando a regra da cadeia.
- Então:
Passo 3
Agora, vamos montar tudo junto:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 4
Nos próximos passos, vamos isolar
. Primeiro, vamos mover todos os termos que não têm
para o outro lado:
Agora, fatoramos
nos termos do lado direito:
Passo 5
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar o denominador usando identidades trigonométricas, se necessário, mas essa é a forma geral da derivada.
Resposta
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(e) vértices , passa por
;
(e) vértices