Encontre d y / d x diferenciando implicitamente x sen(y)+cos (2 y)=cos (y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação: . O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x sin(y) + cos(2y) = cos(y) . Lembre-se que u' = 1 é uma função de v' = cos(y) cdot dydx , então sempre que derivarmos algo que envolve ddx(x sin(y)) = 1 cdot sin(y) + x cdot cos(y) cdot dydx , precisamos multiplicar pela ddx(cos(2y)) = -sin(2y) cdot 2 cdot dydx . Vamos lá:
A equação é:
ddx(cos(y)) = -sin(y) cdot dydx
Derivando cada termo:
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
    • Aqui, e .
    • Derivando:
    • Então:
  2. Derivada de :
    • Usamos a regra da cadeia.
    • A derivada de é .
    • Aqui, .
    • Então:
  3. Derivada de :
    • Novamente, usando a regra da cadeia.
    • Então:

Passo 3

Agora, vamos montar tudo junto:
ddx(x sin(y) + cos(2y)) = ddx(cos(y))
Substituindo as derivadas que calculamos:
sin(y) + x cos(y) cdot dydx - 2 sin(2y) cdot dydx = -sin(y) cdot dydx

Passo 4

Nos próximos passos, vamos isolar sin(y) = -x cos(y) cdot dydx + 2 sin(2y) cdot dydx - sin(y) cdot dydx . Primeiro, vamos mover todos os termos que não têm sin(y) = ( -x cos(y) + 2 sin(2y) - sin(y) ) cdot dydx para o outro lado:
Agora, fatoramos nos termos do lado direito:

Passo 5

Finalmente, isolamos dydx = sin(y) -x cos(y) + 2 sin(2y) - sin(y) :
Podemos simplificar o denominador usando identidades trigonométricas, se necessário, mas essa é a forma geral da derivada.

Resposta

dydx = sin(y) -x cos(y) + 2 sin(2y) - sin(y)

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