Encontre diferenciando implicitamente

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação: . O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos algo que envolve , precisamos multiplicar pela . Vamos lá:
A equação é:
Derivando cada termo:
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
    • Aqui, e .
    • Derivando:
    • Então:
  2. Derivada de :
    • Usamos a regra da cadeia.
    • A derivada de é .
    • Aqui, .
    • Então:
  3. Derivada de :
    • Novamente, usando a regra da cadeia.
    • Então:

Passo 3

Agora, vamos montar tudo junto:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 4

Nos próximos passos, vamos isolar . Primeiro, vamos mover todos os termos que não têm para o outro lado:
Agora, fatoramos nos termos do lado direito:

Passo 5

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar o denominador usando identidades trigonométricas, se necessário, mas essa é a forma geral da derivada.

Resposta

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(e) vértices , passa por ;