Para T=0,1 segundos, obtenha a transformada Z de: x(k)=k * 3^k-2

Passo 1

Ok, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a transformada Z da função para segundos. Isso envolve conceitos de sinais e sistemas, especificamente a transformada Z, que é uma ferramenta para analisar sinais discretos no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x(k) = k cdot 3^k-2 = k cdot 3^k3^2 = k cdot 3^k9 . Podemos reescrever isso como:
Isso facilita na hora de aplicar a transformada Z, já que temos a expressão dividida por 9.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar o que é a transformada Z. Ela transforma um sinal discreto no tempo X(z) = sumk=0^infty x(k) cdot z^-k em uma função no domínio complexo X(z) = sumk=0^infty k cdot 3^k9 cdot z^-k = 19 sumk=0^infty k cdot (3z)^k . A fórmula geral da transformada Z é:
No nosso caso, , então vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos saber a soma da série sumk=0^infty k cdot a^k = a(1 - a)^2, para |a| < 1 , onde sumk=0^infty k cdot (3z)^k = 3z(1 - 3z)^2 . Essa soma é uma série geométrica diferenciada e tem a seguinte fórmula:
Então, aplicando isso no nosso caso:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de X(z) = 19 cdot 3z(1 - 3z)^2 :
X(z) = 39z cdot 1(1 - 3z)^2 = 13z cdot 1(z - 3z)^2
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os termos:

Passo 6

Simplificando mais, observamos que:
(z - 3z)^2 = (z - 3)^2z^2
Então:
X(z) = 13z cdot z^2(z - 3)^2 = z3(z - 3)^2

Resposta

A transformada Z de X(z) = z3(z - 3)^2 é:

Exercícios relacionados