Para T=0,1 segundos, obtenha a transformada Z de: x(k)=cos (10 pi k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a Transformada Z da função para segundos. Isso envolve conceitos de Transformada Z e sinais discretos, que são usados para analisar sistemas em tempo discreto. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada Z e como aplicá-la em funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. Ela transforma uma sequência discreta no tempo X(z) = sumk=-infty^infty x(k) z^-k para o domínio complexo . A definição da Transformada Z é:
Nosso objetivo é aplicar essa definição à função .

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade da Transformada Z para funções cosseno. Sabemos que:
cos(omega0 k) = e^jomega0 k + e^-jomega0 k2
Onde é a frequência angular. No nosso caso, .

Passo 4

Substituindo cos(10pi k) = e^j10pi k + e^-j10pi k2 na expressão, temos:
Agora, aplicamos a Transformada Z a cada termo separadamente.

Passo 5

A Transformada Z de Ze^jomega0 k = zz - e^jomega0 é:
Ze^-jomega0 k = zz - e^-jomega0
E para :

Passo 6

Voltando à nossa expressão para X(z) = 12 ( zz - e^j10pi + zz - e^-j10pi ) :

Passo 7

Simplificamos a expressão combinando os termos:
X(z) = z(z - e^-j10pi) + z(z - e^j10pi)2(z - e^j10pi)(z - e^-j10pi)
Simplificando mais, obtemos:
X(z) = 2z^2 - z(e^j10pi + e^-j10pi)2(z^2 - 2zcos(10pi) + 1)

Passo 8

Sabemos que X(z) = 2z^2 - 2zcos(10pi)2(z^2 - 2zcos(10pi) + 1) = z^2 - zcos(10pi)z^2 - 2zcos(10pi) + 1 , então:

Passo 9

Como X(z) = z^2 - zz^2 - 2z + 1 = z(z - 1)(z - 1)^2 (pois é múltiplo de ), substituímos:

Resposta

A Transformada Z de X(z) = zz - 1 é:

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