A tabela abaixo indica o aluguel (Unidades Monetárias) e a idade (anos) de 5 Apartamentos.
Idade 10 13 5 7 20
Aluguel 4 3 6 5 2
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), a reta de regressão do aluguel como função da idade. Interprete os coeficientes da regressão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com a idade e o aluguel de 5 apartamentos e precisa fazer duas coisas: primeiro, calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson para ver como idade e aluguel estão relacionados. Segundo, usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar uma reta de regressão que te ajude a prever o aluguel com base na idade. Vamos precisar de fórmulas de estatística básica para isso, como somatórios e equações de regressão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
Idade (x) Aluguel (y)
10 4
13 3
5 6
7 5
20 2

Passo 3

Para calcular o coeficiente de correlação de Pearson, precisamos das seguintes somas:
  • Soma de x: sum x = 10 + 13 + 5 + 7 + 20 = 55
  • Soma de y: sum y = 4 + 3 + 6 + 5 + 2 = 20
  • Soma de xy: sum xy = (10 times 4) + (13 times 3) + (5 times 6) + (7 times 5) + (20 times 2) = 40 + 39 + 30 + 35 + 40 = 184
  • Soma de x²: sum x^2 = 10^2 + 13^2 + 5^2 + 7^2 + 20^2 = 100 + 169 + 25 + 49 + 400 = 743
  • Soma de y²: sum y^2 = 4^2 + 3^2 + 6^2 + 5^2 + 2^2 = 16 + 9 + 36 + 25 + 4 = 90
Vamos calcular cada uma delas:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = n sum xy - (sum x)(sum y)raiz[n sum x^2 - (sum x)^2][n sum y^2 - (sum y)^2]
Onde r = 5 times 184 - 55 times 20raiz[5 times 743 - 55^2][5 times 90 - 20^2] = 920 - 1100raiz[3715 - 3025][450 - 400] = -180raiz690 times 50 = -180raiz34500 = -180185.57 approx -0.97 (número de observações).
Substituindo os valores:

Passo 5

O coeficiente de correlação de Pearson indica uma forte correlação negativa entre a idade dos apartamentos e o aluguel. Isso significa que, geralmente, à medida que a idade dos apartamentos aumenta, o aluguel tende a diminuir.

Passo 6

Agora, vamos ajustar a reta de regressão usando o Método dos Mínimos Quadrados. A fórmula geral da reta é:
y = a + b x
Onde:
  • b = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2 é o coeficiente angular, dado por:
a = sum y - b sum xn
  • é o coeficiente linear, dado por:

Passo 7

Calculando b = 5 times 184 - 55 times 205 times 743 - 55^2 = 920 - 11003715 - 3025 = -180690 approx -0,26 :
a = 20 - (-0,26) times 555 = 20 + 14,35 = 34,35 approx 6,86
Calculando :

Passo 8

Então, a equação da reta de regressão é:
y = 6,86 - 0,26 x

Passo 9

Interpretando os coeficientes:
  • : Quando a idade do apartamento é 0 anos, o aluguel estimado é de 6,86 unidades monetárias.
  • : Para cada ano adicional de idade do apartamento, o aluguel diminui, em média, 0,26 unidades monetárias.

Resposta

a) O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente .
b) A reta de regressão ajustada é , onde indica o aluguel estimado para um apartamento novo, e mostra que, a cada ano de aumento da idade, o aluguel diminui em 0,26 unidades monetárias.

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