Um tanque contendo um líquido A , é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (
), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é
. Passadas 5 h , a taxa de retirada foi determinada como sendo
. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de
. Dado: densidade do líquido = 1,08. (a) Escreva uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque,
) [kg/h]. (
750+50t) (b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. (
) © Após 5 horas, qual o volume de líquido resta no tanque? (
) (d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor máximo? Qual seria a altura máxima do nível considerando que a base do tanque que é cilíndrico, tem um diâmetro de
? (
) (e) Qual o tempo necessário para esvaziar o tanque? (t = 19,5h)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um tanque que está cheio de um líquido chamado A. Esse tanque está esvaziando, mas a taxa de retirada desse líquido está aumentando de forma linear com o tempo. No começo, quando o tempo (t) é 0, o tanque tem 750 kg de líquido e a taxa de retirada é de 750 kg/h. Depois de 5 horas, percebemos que a taxa de retirada chegou a 1000 kg/h. Além disso, o tanque está recebendo continuamente mais do líquido A a uma taxa de 1200 kg/h para repor o que está sendo retirado. A densidade do líquido é de 1,08 kg/L. Vamos precisar usar conceitos de taxas de variação, equilíbrio de massa e algumas fórmulas de geometria para resolver as questões.
Passo 2
(a) Escrevendo uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, $ q_s(t) $ [kg/h].
Primeiro, sabemos que a taxa de retirada está aumentando de forma linear com o tempo. Isso significa que podemos modelar essa taxa com uma equação do tipo:
Onde:
- $ q_0 $ é a taxa inicial de retirada.
- $ k $ é a constante que representa o quanto a taxa de retirada aumenta a cada hora.
- $ t $ é o tempo em horas.
Sabemos que no início ($ t = 0 $), $ q_s(0) = 750 $ kg/h. Então,
Mas isso não faz sentido, já que a taxa está aumentando. Talvez haja um erro na interpretação. Na verdade, sabemos que após 5 horas, a taxa é de 1000 kg/h:
Resolvendo para $ k $:
Então, a expressão para $ q_s(t) $ é:
Passo 3
(b) Escrevendo e resolvendo o balanço de massa diferencial para o líquido.
O balanço de massa nos ajuda a entender como a quantidade de líquido no tanque muda ao longo do tempo. A equação geral do balanço de massa é:
Aqui, a taxa de entrada é a reposição constante de 1200 kg/h, e a taxa de saída é $ q_s(t) = 750 + 50t $ kg/h. Então:
Para encontrar $ M(t) $, integramos essa equação:
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ M(0) = 750 $ kg:
Portanto, a expressão para $ M(t) $ é:
Passo 4
© Determinando o volume de líquido que resta no tanque após 5 horas.
Primeiro, calculamos $ M(5) $ usando a expressão que encontramos:
Agora, para encontrar o volume, usamos a densidade $ \rho = 1,08 $ kg/L. A relação entre massa e volume é:
Convertendo a densidade para kg/m³ (já que 1 m³ = 1000 L):
Então,
Passo 5
(d) Calculando o tempo para o nível do tanque atingir o valor máximo e a altura máxima considerando a base cilíndrica com diâmetro de 1,4 m.
Para encontrar o tempo em que o nível atinge o valor máximo, observamos a função $ M(t) = 750 + 450t - 25t^2 $. O ponto máximo dessa função ocorre quando a derivada primeira é zero.
Já temos a derivada:
Igualando a zero:
Então, leva 9 horas para o nível do tanque atingir o máximo.
Agora, para encontrar a altura máxima, primeiro calculamos a massa nesse tempo:
Convertendo para volume:
Como a base do tanque é cilíndrica com diâmetro de 1,4 m, o raio $ r $ é 0,7 m. A área da base é:
A altura máxima $ h_{max} $ é:
Passo 6
(e) Determinando o tempo necessário para esvaziar o tanque.
Para esvaziar o tanque, queremos que $ M(t) = 0 $:
Resolvendo a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 25:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando:
Então,
Ignoramos a solução negativa, já que tempo não pode ser negativo. Portanto, leva aproximadamente 19,5 horas para esvaziar o tanque.
Resposta
(a) $ q_s(t) = 750 + 50t $ kg/h
(b) $ M(t) = 750 + 450t - 25t^2 $ kg
© Após 5 horas, o volume de líquido restante é aproximadamente $ 2,2 , m^3 $
(d) O nível do tanque atinge o valor máximo após 9 horas, e a altura máxima é de aproximadamente $ 1,67 , m $
(e) O tempo necessário para esvaziar o tanque é de aproximadamente 19,5 horas
Exercícios relacionados
A pressão de vapor da acetona a 295 K é
. Para uma mistura de gás nitrogênio saturado com vapor de acetona a 295 K e 105 kPa, pede-se:
A quantidade de vapor em kg de acetona por volume em de mistura
A quantidade de vapor em kg de acetona por volume em
A velocidade na saída do tanque é igual a
, e a razão entre a área do tubo e a área do tanque é
. Determine o tempo para o tanque se esvaziar completamente. (Resp.:
Após um processo de pirólise, a análise do gás de um produto forneceu
de
de
de
de
de
e
de
. Esse gás entrou na câmara de combustão a
e a uma pressão de 35 inHg , foi queimado com 40% de excesso de ar (seco) que estava a
e a uma pressão atmosférica de 29,4 inHg, e 10% de CO permaneceram não queimados. Considerando como base de cálculo 100 lbmol de gás entrando na câmara de combustão e, sabendo que o gás de exaustão (saída de câmara de combustão) estava a 29,4 inHg e
F calcule a razão volumétrica entre o gás de exaustão e o de entrada.
Um tanque cilíndrico de 1100 L encontrava-se cheio de água. Num dado instante, a válvula na parte inferior do tanque se rompe e a água flui para fora a uma taxa de
onde V é o volume restante de água dentro do tanque. Determine (a) o volume no tanque após 2 min da abertura da válvula. (b) qual a altura de água no tanque nesse momento? Considere que o tanque tem 1 m altura e 1,18 m de diâmetro. (
)