Um tanque contendo um líquido A , é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início ( t=0 ), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg / h. Passadas 5 h , a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 kg / h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de 1200 kg / h. Dado: densidade do líquido = 1,08. (a) Escreva uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, qs(t ) [kg/h]. ( w2= 750+50t) (b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. ( M=750+450 t-25 t^2 ) © Após 5 horas, qual o volume de líquido resta no tanque? ( 2,2 m^3 ) (d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor máximo? Qual seria a altura máxima do nível considerando que a base do tanque que é cilíndrico, tem um diâmetro de 1,4 m ? ( L=1,67 m ) (e) Qual o tempo necessário para esvaziar o tanque? (t = 19,5h)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um tanque que está cheio de um líquido chamado A. Esse tanque está esvaziando, mas a taxa de retirada desse líquido está aumentando de forma linear com o tempo. No começo, quando o tempo (t) é 0, o tanque tem 750 kg de líquido e a taxa de retirada é de 750 kg/h. Depois de 5 horas, percebemos que a taxa de retirada chegou a 1000 kg/h. Além disso, o tanque está recebendo continuamente mais do líquido A a uma taxa de 1200 kg/h para repor o que está sendo retirado. A densidade do líquido é de 1,08 kg/L. Vamos precisar usar conceitos de taxas de variação, equilíbrio de massa e algumas fórmulas de geometria para resolver as questões.

Passo 2

(a) Escrevendo uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, $ q_s(t) $ [kg/h].
Primeiro, sabemos que a taxa de retirada está aumentando de forma linear com o tempo. Isso significa que podemos modelar essa taxa com uma equação do tipo:
qs(t)
Onde:
  • $ q_0 $ é a taxa inicial de retirada.
  • $ k $ é a constante que representa o quanto a taxa de retirada aumenta a cada hora.
  • $ t $ é o tempo em horas.
Sabemos que no início ($ t = 0 $), $ q_s(0) = 750 $ kg/h. Então,
qs(t) = q0 + kt
Mas isso não faz sentido, já que a taxa está aumentando. Talvez haja um erro na interpretação. Na verdade, sabemos que após 5 horas, a taxa é de 1000 kg/h:
q0
Resolvendo para $ k $:
k
Então, a expressão para $ q_s(t) $ é:
t

Passo 3

(b) Escrevendo e resolvendo o balanço de massa diferencial para o líquido.
O balanço de massa nos ajuda a entender como a quantidade de líquido no tanque muda ao longo do tempo. A equação geral do balanço de massa é:
dMdt = Taxa de entrada - Taxa de saída í
Aqui, a taxa de entrada é a reposição constante de 1200 kg/h, e a taxa de saída é $ q_s(t) = 750 + 50t $ kg/h. Então:
qs(t) = 750 + 50t
Para encontrar $ M(t) $, integramos essa equação:
dMdt = 1200 - (750 + 50t) = 450 - 50t
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ M(0) = 750 $ kg:
M(t)
Portanto, a expressão para $ M(t) $ é:
dMdt = 450 - 50t Rightarrow M(t) = integral (450 - 50t) , dt = 450t - 25t^2 + C

Passo 4

© Determinando o volume de líquido que resta no tanque após 5 horas.
Primeiro, calculamos $ M(5) $ usando a expressão que encontramos:
M(5)
Agora, para encontrar o volume, usamos a densidade $ \rho = 1,08 $ kg/L. A relação entre massa e volume é:
M(5) = 750 + 450 cdot 5 - 25 cdot 5^2 = 750 + 2250 - 625 = 750 + 2250 - 625 = 2375 , kg
Convertendo a densidade para kg/m³ (já que 1 m³ = 1000 L):
rho = 1,08
Então,
V = Mrho

Passo 5

(d) Calculando o tempo para o nível do tanque atingir o valor máximo e a altura máxima considerando a base cilíndrica com diâmetro de 1,4 m.
Para encontrar o tempo em que o nível atinge o valor máximo, observamos a função $ M(t) = 750 + 450t - 25t^2 $. O ponto máximo dessa função ocorre quando a derivada primeira é zero.
Já temos a derivada:
M(t) = 750 + 450t - 25t^2
Igualando a zero:
dMdt = 450 - 50t
Então, leva 9 horas para o nível do tanque atingir o máximo.
Agora, para encontrar a altura máxima, primeiro calculamos a massa nesse tempo:
450 - 50t = 0 Rightarrow t = 45050 = 9 , horas
Convertendo para volume:
M(9) = 750 + 450 cdot 9 - 25 cdot 9^2 = 750 + 4050 - 2025 = 2775 , kg
Como a base do tanque é cilíndrica com diâmetro de 1,4 m, o raio $ r $ é 0,7 m. A área da base é:
V = 27751080 approx 2,569 , m^3
A altura máxima $ h_{max} $ é:
r

Passo 6

(e) Determinando o tempo necessário para esvaziar o tanque.
Para esvaziar o tanque, queremos que $ M(t) = 0 $:
M(t) = 0
Resolvendo a equação quadrática:
750 + 450t - 25t^2 = 0
Dividindo todos os termos por 25:
25t^2 - 450t - 750 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
t^2 - 18t - 30 = 0
Calculando:
t = 18 pm raiz18^2 + 4 cdot 302 = 18 pm raiz324 + 1202 = 18 pm raiz4442
Então,
raiz444 approx 21,07
Ignoramos a solução negativa, já que tempo não pode ser negativo. Portanto, leva aproximadamente 19,5 horas para esvaziar o tanque.

Resposta

(a) $ q_s(t) = 750 + 50t $ kg/h
(b) $ M(t) = 750 + 450t - 25t^2 $ kg
© Após 5 horas, o volume de líquido restante é aproximadamente $ 2,2 , m^3 $
(d) O nível do tanque atinge o valor máximo após 9 horas, e a altura máxima é de aproximadamente $ 1,67 , m $
(e) O tempo necessário para esvaziar o tanque é de aproximadamente 19,5 horas

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