Um tanque cilíndrico de diâmetro
contém água com uma profundidade d. Um pequeno orifício de diâmetro
é feito no fundo do tanque. Como
, a água do tanque é drenada lentamente. Encontre uma expressão do tempo necessário para drenar o tanque completamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um tanque cilíndrico que está esvaziando pela base. A matéria envolvida aqui é hidrodinâmica, especificamente usando a Lei de Torricelli para fluxo de fluidos. Vamos precisar entender como a velocidade da água que sai do orifício se relaciona com a altura da água no tanque e como isso afeta o tempo total para o tanque esvaziar completamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade $ v $ da água saindo por um orifício é dada por:
onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente
), - $ h $ é a profundidade da água acima do orifício.
Passo 3
Como o tanque é cilíndrico, a área da seção transversal $ A $ do tanque é:
E a área do orifício $ a $ é:
Aqui, sabemos que $ r \ll R $, então a área do orifício é muito menor que a área do tanque.
Passo 4
A taxa de saída de volume $ \frac{dV}{dt} $ é igual à área do orifício vezes a velocidade da água:
Mas como $ V = A h $, temos:
Portanto:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados, da altura inicial $ d $ até 0:
Passo 6
Calculando as integrais:
Passo 7
Resolvendo para $ T $:
Simplificando:
Resposta
O tempo necessário para esvaziar completamente o tanque é: