Um tanque cilíndrico de diâmetro 2 R contém água com uma profundidade d. Um pequeno orifício de diâmetro 2 r é feito no fundo do tanque. Como r ll R, a água do tanque é drenada lentamente. Encontre uma expressão do tempo necessário para drenar o tanque completamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um tanque cilíndrico que está esvaziando pela base. A matéria envolvida aqui é hidrodinâmica, especificamente usando a Lei de Torricelli para fluxo de fluidos. Vamos precisar entender como a velocidade da água que sai do orifício se relaciona com a altura da água no tanque e como isso afeta o tempo total para o tanque esvaziar completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade $ v $ da água saindo por um orifício é dada por:
v
onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente v = raiz2 g h ),
  • $ h $ é a profundidade da água acima do orifício.

Passo 3

Como o tanque é cilíndrico, a área da seção transversal $ A $ do tanque é:
A
E a área do orifício $ a $ é:
A = pi R^2
Aqui, sabemos que $ r \ll R $, então a área do orifício é muito menor que a área do tanque.

Passo 4

A taxa de saída de volume $ \frac{dV}{dt} $ é igual à área do orifício vezes a velocidade da água:
dVdt
Mas como $ V = A h $, temos:
dVdt = a v = pi r^2 raiz2 g h
Portanto:
V = A h

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
dhraizh = pi r^2 raiz2 gA dt
Integrando ambos os lados, da altura inicial $ d $ até 0:
d

Passo 6

Calculando as integrais:
2 raizh g|d^0 = pi r^2 raiz2 gpi R^2 T
2 (raiz0 - raizd) = r^2 raiz2 gR^2 T
-2 raizd = r^2 raiz2 gR^2 T

Passo 7

Resolvendo para $ T $:
T
Simplificando:
T = 2 R^2 raizdr^2 raiz2 g

Resposta

O tempo necessário para esvaziar completamente o tanque é:
T = 2 R^2 raizdr^2 raiz2 g

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